1 The world is everything that is the case.*
1.1 The world is the totality of facts, not of things.
1.11 The world is determined by the facts, and by these being all the
facts.
1.12 For the totality of facts determines both what is the case, and
also all that is not the case.
1.13 The facts in logical space are the world.
1.2 The world divides into facts.
1.21 Any one can either be the case or not be the case, and everything
else remain the same.
2 What is the case, the fact, is the existence of atomic facts.
2.01 An atomic fact is a combination of objects (entities, things).
2.011 It is essential to a thing that it can be a constituent part of an
atomic fact.
2.012 In logic nothing is accidental: if a thing can occur in an atomic
fact the possibility of that atomic fact must already be prejudged
in the thing.
2.0121 It would, so to speak, appear as an accident, when to a thing
that could exist alone on its own account, subsequently a state
of aairs could be made to t.
If things can occur in atomic facts, this possibility must already lie in them.
*The decimal gures as numbers of the separate propositions indicate the logical
importance of the propositions, the emphasis laid upon them in my exposition. The
propositions n.1, n.2, n.3, etc., are comments on proposition No. n; the propositions
n.m1, n.m2, etc., are comments on the proposition No. n.m; and so on.
25
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
(A logical entity cannot be merely possible. Logic treats of
every possibility, and all possibilities are its facts.)
Just as we cannot think of spatial objects at all apart from
space, or temporal objects apart from time, so we cannot think
of any object apart from the possibility of its connexion with
other things.
If I can think of an object in the context of an atomic fact,
I cannot think of it apart from the possibility of this context.
2.0122 The thing is independent, in so far as it can occur in all possible circumstances, but this form of independence is a form of
connexion with the atomic fact, a form of dependence. (It is
impossible for words to occur in two dierent ways, alone and
in the proposition.)
2.0123 If I know an object, then I also know all the possibilities of its
occurrence in atomic facts.
(Every such possibility must lie in the nature of the object.)
A new possibility cannot subsequently be found.
2.01231 In order to know an object, I must know not its external but all
its internal qualities.
2.0124 If all objects are given, then thereby are all possible atomic facts
also given.
2.013 Every thing is, as it were, in a space of possible atomic facts. I
can think of this space as empty, but not of the thing without
the space.
2.0131 A spatial object must lie in in nite space. (A point in space is
a place for an argument.)
A speck in a visual eld need not be red, but it must have a
colour; it has, so to speak, a colour space round it. A tone must
have a pitch, the object of the sense of touch a hardness, etc.
2.014 Objects contain the possibility of all states of aairs.
2.0141 The possibility of its occurrence in atomic facts is the form of
the object.
2.02 The object is simple.
2.0201 Every statement about complexes can be analysed into a state26
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
ment about their constituent parts, and into those propositions
which completely describe the complexes.
2.021 Objects form the substance of the world. Therefore they cannot
be compound.
2.0211 If the world had no substance, then whether a proposition had
sense would depend on whether another proposition was true.
2.0212 It would then be impossible to form a picture of the world (true
or false).
2.022 It is clear that however dierent from the real one an imagined
world may be, it must have somethinga formin common
with the real world.
2.023 This xed form consists of the objects.
2.0231 The substance of the world can only determine a form and not
any material properties. For these are rst presented by the
propositions rst formed by the con guration of the objects.
2.0232 Roughly speaking: objects are colourless.
2.0233 Two objects of the same logical form areapart from their external propertiesonly dierentiated from one another in that
they are dierent.
2.02331 Either a thing has properties which no other has, and then one
can distinguish it straight away from the others by a description
and refer to it; or, on the other hand, there are several things
which have the totality of their properties in common, and then
it is quite impossible to point to any one of them.
For if a thing is not distinguished by anything, I cannot distinguish itfor otherwise it would be distinguished.
2.024 Substance is what exists independently of what is the case.
2.025 It is form and content.
2.0251 Space, time and colour (colouredness) are forms of objects.
2.026 Only if there are objects can there be a xed form of the world.
2.027 The xed, the existent and the object are one.
2.0271 The object is the xed, the existent; the con guration is the
changing, the variable.
27
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
2.0272 The con guration of the objects forms the atomic fact.
2.03 In the atomic fact objects hang one in another, like the members
of a chain.
2.031 In the atomic fact the objects are combined in a de nite way.
2.032 The way in which objects hang together in the atomic fact is
the structure of the atomic fact.
2.033 The form is the possibility of the structure.
2.034 The structure of the fact consists of the structures of the atomic
facts.
2.04 The totality of existent atomic facts is the world.
2.05 The totality of existent atomic facts also determines which atomic facts do not exist.
2.06 The existence and non-existence of atomic facts is the reality.
(The existence of atomic facts we also call a positive fact,
their non-existence a negative fact.)
2.061 Atomic facts are independent of one another.
2.062 From the existence or non-existence of an atomic fact we cannot
infer the existence or non-existence of another.
2.063 The total reality is the world.
2.1 We make to ourselves pictures of facts.
2.11 The picture presents the facts in logical space, the existence and
non-existence of atomic facts.
2.12 The picture is a model of reality.
2.13 To the objects correspond in the picture the elements of the
picture.
2.131 The elements of the picture stand, in the picture, for the objects.
2.14 The picture consists in the fact that its elements are combined
with one another in a de nite way.
2.141 The picture is a fact.
2.15 That the elements of the picture are combined with one another
in a de nite way, represents that the things are so combined
with one another.
28
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
This connexion of the elements of the picture is called its
structure, and the possibility of this structure is called the form
of representation of the picture.
2.151 The form of representation is the possibility that the things are
combined with one another as are the elements of the picture.
2.1511 Thus the picture is linked with reality; it reaches up to it.
2.1512 It is like a scale applied to reality.
2.15121 Only the outermost points of the dividing lines touch the object
to be measured.
2.1513 According to this view the representing relation which makes it
a picture, also belongs to the picture.
2.1514 The representing relation consists of the co-ordinations of the
elements of the picture and the things.
2.1515 These co-ordinations are as it were the feelers of its elements
with which the picture touches reality.
2.16 In order to be a picture a fact must have something in common
with what it pictures.
2.161 In the picture and the pictured there must be something identical in order that the one can be a picture of the other at all.
2.17 What the picture must have in common with reality in order to
be able to represent it after its mannerrightly or falselyis its
form of representation.
2.171 The picture can represent every reality whose form it has.
The spatial picture, everything spatial, the coloured, everything coloured, etc.
2.172 The picture, however, cannot represent its form of representation; it shows it forth.
2.173 The picture represents its object from without (its standpoint is
its form of representation), therefore the picture represents its
object rightly or falsely.
2.174 But the picture cannot place itself outside of its form of representation.
2.18 What every picture, of whatever form, must have in common
29
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
with reality in order to be able to represent it at allrightly or
falselyis the logical form, that is, the form of reality.
2.181 If the form of representation is the logical form, then the picture
is called a logical picture.
2.182 Every picture is also a logical picture. (On the other hand, for
example, not every picture is spatial.)
2.19 The logical picture can depict the world.
2.2 The picture has the logical form of representation in common
with what it pictures.
2.201 The picture depicts reality by representing a possibility of the
existence and non-existence of atomic facts.
2.202 The picture represents a possible state of aairs in logical space.
2.203 The picture contains the possibility of the state of aairs which
it represents.
2.21 The picture agrees with reality or not; it is right or wrong, true
or false.
2.22 The picture represents what it represents, independently of its
truth or falsehood, through the form of representation.
2.221 What the picture represents is its sense.
2.222 In the agreement or disagreement of its sense with reality, its
truth or falsity consists.
2.223 In order to discover whether the picture is true or false we must
compare it with reality.
2.224 It cannot be discovered from the picture alone whether it is true
or false.
2.225 There is no picture which is a priori true.
3 The logical picture of the facts is the thought.
3.001 An atomic fact is thinkablemeans: we can imagine it.
3.01 The totality of true thoughts is a picture of the world.
3.02 The thought contains the possibility of the state of aairs which
it thinks.
What is thinkable is also possible.
30
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
3.03 We cannot think anything unlogical, for otherwise we should
have to think unlogically.
3.031 It used to be said that God could create everything, except what
was contrary to the laws of logic. The truth is, we could not say
of an unlogical world how it would look.
3.032 To present in language anything which contradicts logic is as
impossible as in geometry to present by its co-ordinates a gure
which contradicts the laws of space; or to give the co-ordinates
of a point which does not exist.
3.0321 We could present spatially an atomic fact which contradicted
the laws of physics, but not one which contradicted the laws of
geometry.
3.04 An a priori true thought would be one whose possibility guaranteed its truth.
3.05 We could only know a priori that a thought is true if its truth
was to be recognized from the thought itself (without an object
of comparison).
3.1 In the proposition the thought is expressed perceptibly through
the senses.
3.11 We use the sensibly perceptible sign (sound or written sign, etc.)
of the proposition as a projection of the possible state of aairs.
The method of projection is the thinking of the sense of the
proposition.
3.12 The sign through which we express the thought I call the propositional sign. And the proposition is the propositional sign in
its projective relation to the world.
3.13 To the proposition belongs everything which belongs to the projection; but not what is projected.
Therefore the possibility of what is projected but not this
itself.
In the proposition, therefore, its sense is not yet contained,
but the possibility of expressing it.
(The content of the proposition means the content of the
signi cant proposition.)
In the proposition the form of its sense is contained, but not
its content.
31
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
3.14 The propositional sign consists in the fact that its elements, the
words, are combined in it in a de nite way.
The propositional sign is a fact.
3.141 The proposition is not a mixture of words (just as the musical
theme is not a mixture of tones).
The proposition is articulate.
3.142 Only facts can express a sense, a class of names cannot.
3.143 That the propositional sign is a fact is concealed by the ordinary
form of expression, written or printed.
(For in the printed proposition, for example, the sign of a
proposition does not appear essentially dierent from a word.
Thus it was possible for Frege to call the proposition a compounded name.)
3.1431 The essential nature of the propositional sign becomes very clear
when we imagine it made up of spatial objects (such as tables,
chairs, books) instead of written signs.
The mutual spatial position of these things then expresses
the sense of the proposition.
3.1432 We must not say, The complex sign aRb' saysa stands in
relation R to b'; but we must say, That a' stands in a certain
relation tob' says that aRb.
3.144 States of aairs can be described but not named.
(Names resemble points; propositions resemble arrows, they
have sense.)
3.2 In propositions thoughts can be so expressed that to the objects
of the thoughts correspond the elements of the propositional
sign.
3.201 These elements I call simple signs and the proposition completely analysed.
3.202 The simple signs employed in propositions are called names.
3.203 The name means the object. The object is its meaning. (A is
the same sign as A.)
3.21 To the con guration of the simple signs in the propositional
sign corresponds the con guration of the objects in the state of
aairs.
32
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
3.22 In the proposition the name represents the object.
3.221 Objects I can only name. Signs represent them. I can only speak
of them. I cannot assert them. A proposition can only say how
a thing is, not what it is.
3.23 The postulate of the possibility of the simple signs is the postulate of the determinateness of the sense.
3.24 A proposition about a complex stands in internal relation to the
proposition about its constituent part.
A complex can only be given by its description, and this
will either be right or wrong. The proposition in which there
is mention of a complex, if this does not exist, becomes not
nonsense but simply false.
That a propositional element signi es a complex can be seen
from an indeterminateness in the propositions in which it occurs. We know that everything is not yet determined by this
proposition. (The notation for generality contains a prototype.)
The combination of the symbols of a complex in a simple
symbol can be expressed by a de nition.
3.25 There is one and only one complete analysis of the proposition.
3.251 The proposition expresses what it expresses in a de nite and
clearly speci able way: the proposition is articulate.
3.26 The name cannot be analysed further by any de nition. It is a
primitive sign.
3.261 Every de ned sign signi es via those signs by which it is de ned,
and the de nitions show the way.
Two signs, one a primitive sign, and one de ned by primitive
signs, cannot signify in the same way. Names cannot be taken to
pieces by de nition (nor any sign which alone and independently
has a meaning).
3.262 What does not get expressed in the sign is shown by its application. What the signs conceal, their application declares.
3.263 The meanings of primitive signs can be explained by elucidations. Elucidations are propositions which contain the primitive
signs. They can, therefore, only be understood when the meanings of these signs are already known.
33
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
3.3 Only the proposition has sense; only in the context of a proposition has a name meaning.
3.31 Every part of a proposition which characterizes its sense I call
an expression (a symbol).
(The proposition itself is an expression.)
Expressions are everythingessential for the sense of the
propositionthat propositions can have in common with one
another.
An expression characterizes a form and a content.
3.311 An expression presupposes the forms of all propositions in which
it can occur. It is the common characteristic mark of a class of
propositions.
3.312 It is therefore represented by the general form of the propositions
which it characterizes.
And in this form the expression is constant and everything
else variable.
3.313 An expression is thus presented by a variable, whose values are
the propositions which contain the expression.
(In the limiting case the variables become constants, the expression a proposition.)
I call such a variable a propositional variable.
3.314 An expression has meaning only in a proposition. Every variable
can be conceived as a propositional variable.
(Including the variable name.)
3.315 If we change a constituent part of a proposition into a variable,
there is a class of propositions which are all the values of the resulting variable proposition. This class in general still depends
on what, by arbitrary agreement, we mean by parts of that proposition. But if we change all those signs, whose meaning was arbitrarily determined, into variables, there always remains such
a class. But this is now no longer dependent on any agreement;
it depends only on the nature of the proposition. It corresponds
to a logical form, to a logical prototype.
3.316 What values the propositional variable can assume is determined.
34
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
The determination of the values is the variable.
3.317 The determination of the values of the propositional variable
is done by indicating the propositions whose common mark the
variable is.
The determination is a description of these propositions.
The determination will therefore deal only with symbols not
with their meaning.
And only this is essential to the determination, that it is
only a description of symbols and asserts nothing about what is
symbolized.
The way in which we describe the propositions is not essential.
3.318 I conceive the propositionlike Frege and Russellas a function
of the expressions contained in it.
3.32 The sign is the part of the symbol perceptible by the senses.
3.321 Two dierent symbols can therefore have the sign (the written
sign or the sound sign) in commonthey then signify in dierent
ways.
3.322 It can never indicate the common characteristic of two objects
that we symbolize them with the same signs but by dierent
methods of symbolizing. For the sign is arbitrary. We could
therefore equally well choose two dierent signs and where then
would be what was common in the symbolization.
3.323 In the language of everyday life it very often happens that the
same word signi es in two dierent waysand therefore belongs
to two dierent symbolsor that two words, which signify in
dierent ways, are apparently applied in the same way in the
proposition.
Thus the word is appears as the copula, as the sign of
equality, and as the expression of existence; to exist as an
intransitive verb like to go; identical as an adjective; we speak
of something but also of the fact of something happening.
(In the proposition Green is greenwhere the rst word is
a proper name and the last an adjectivethese words have not
merely dierent meanings but they are dierent symbols.)
35
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
3.324 Thus there easily arise the most fundamental confusions (of
which the whole of philosophy is full).
3.325 In order to avoid these errors, we must employ a symbolism
which excludes them, by not applying the same sign in dierent
symbols and by not applying signs in the same way which signify
in dierent ways. A symbolism, that is to say, which obeys the
rules of logical grammarof logical syntax.
(The logical symbolism of Frege and Russell is such a language, which, however, does still not exclude all errors.)
3.326 In order to recognize the symbol in the sign we must consider
the signi cant use.
3.327 The sign determines a logical form only together with its logical
syntactic application.
3.328 If a sign is not necessary then it is meaningless. That is the
meaning of Occam's razor.
(If everything in the symbolism works as though a sign had
meaning, then it has meaning.)
3.33 In logical syntax the meaning of a sign ought never to play a
rôle; it must admit of being established without mention being
thereby made of the meaning of a sign; it ought to presuppose
only the description of the expressions.
3.331 From this observation we get a further viewinto Russell's Theory of Types. Russell's error is shown by the fact that in drawing
up his symbolic rules he has to speak of the meaning of the signs.
3.332 No proposition can say anything about itself, because the propositional sign cannot be contained in itself (that is the whole
theory of types).
3.333 A function cannot be its own argument, because the functional
sign already contains the prototype of its own argument and it
cannot contain itself.
If, for example, we suppose that the function F(fx) could
be its own argument, then there would be a proposition
F(F(fx)), and in this the outer function F and the inner
function F must have dierent meanings; for the inner has
the form ϕ(fx), the outer the form ψ(ϕ(fx)). Common to
36
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
both functions is only the letter F, which by itself signi es
nothing.
This is at once clear, if instead of F(F(u)) we write (∃ϕ) :
F(ϕu) . ϕu = F u.
Herewith Russell's paradox vanishes.
3.334 The rules of logical syntax must follow of themselves, if we only
know how every single sign signi es.
3.34 A proposition possesses essential and accidental features.
Accidental are the features which are due to a particular way
of producing the propositional sign. Essential are those which
alone enable the proposition to express its sense.
3.341 The essential in a proposition is therefore that which is common
to all propositions which can express the same sense.
And in the same way in general the essential in a symbol is
that which all symbols which can ful l the same purpose have
in common.
3.3411 One could therefore say the real name is that which all symbols,
which signify an object, have in common. It would then follow,
step by step, that no sort of composition was essential for a
name.
3.342 In our notations there is indeed something arbitrary, but this
is not arbitrary, namely that if we have determined anything
arbitrarily, then something else must be the case. (This results
from the essence of the notation.)
3.3421 A particular method of symbolizing may be unimportant, but it
is always important that this is a possible method of symbolizing. And this happens as a rule in philosophy: The single thing
proves over and over again to be unimportant, but the possibility of every single thing reveals something about the nature of
the world.
3.343 De nitions are rules for the translation of one language into
another. Every correct symbolism must be translatable into
every other according to such rules. It is this which all have in
common.
37
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
3.344 What signi es in the symbol is what is common to all those
symbols by which it can be replaced according to the rules of
logical syntax.
3.3441 We can, for example, express what is common to all notations
for the truth-functions as follows: It is common to them that
they all, for example, can be replaced by the notations of ∼p
(not p) and p ∨ q (p or q).
(Herewith is indicated the way in which a special possible
notation can give us general information.)
3.3442 The sign of the complex is not arbitrarily resolved in the analysis,
in such a way that its resolution would be dierent in every
propositional structure.
3.4 The proposition determines a place in logical space: the existence of this logical place is guaranteed by the existence of the
constituent parts alone, by the existence of the signi cant proposition.
3.41 The propositional sign and the logical co-ordinates: that is the
logical place.
3.411 The geometrical and the logical place agree in that each is the
possibility of an existence.
3.42 Although a proposition may only determine one place in logical
space, the whole logical space must already be given by it.
(Otherwise denial, the logical sum, the logical product, etc.,
would always introduce new elementsin co-ordination.)
(The logical scaolding round the picture determines the logical space. The proposition reaches through the whole logical
space.)
3.5 The applied, thought, propositional sign is the thought.
4 The thought is the signi cant proposition.
4.001 The totality of propositions is the language.
4.002 Man possesses the capacity of constructing languages, in which
every sense can be expressed, without having an idea how and
what each word meansjust as one speaks without knowing how
the single sounds are produced.
38
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Colloquial language is a part of the human organism and is
not less complicated than it.
From it it is humanly impossible to gather immediately the
logic of language.
Language disguises the thought; so that from the external
form of the clothes one cannot infer the form of the thought they
clothe, because the external form of the clothes is constructed
with quite another object than to let the form of the body be
recognized.
The silent adjustments to understand colloquial language are
enormously complicated.
4.003 Most propositions and questions, that have been written about
philosophical matters, are not false, but senseless. We cannot, therefore, answer questions of this kind at all, but only
state their senselessness. Most questions and propositions of
the philosophers result from the fact that we do not understand
the logic of our language.
(They are of the same kind as the question whether the Good
is more or less identical than the Beautiful.)
And so it is not to be wondered at that the deepest problems
are really no problems.
4.0031 All philosophy is Critique of language (but not at all in Mauthner's sense). Russell's merit is to have shown that the apparent
logical form of the proposition need not be its real form.
4.01 The proposition is a picture of reality.
The proposition is a model of the reality as we think it is.
4.011 At the rst glance the propositionsay as it stands printed on
paperdoes not seem to be a picture of the reality of which it
treats. But nor does the musical score appear at rst sight to
be a picture of a musical piece; nor does our phonetic spelling
(letters) seem to be a picture of our spoken language. And yet
these symbolisms prove to be pictureseven in the ordinary
sense of the wordof what they represent.
4.012 It is obvious that we perceive a proposition of the form aRb as
a picture. Here the sign is obviously a likeness of the signi ed.
4.013 And if we penetrate to the essence of this pictorial nature we
39
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
see that this is not disturbed by apparent irregularities (like the
use of ♯ and ♭ in the score).
For these irregularities also picture what they are to express;
only in another way.
4.014 The gramophone record, the musical thought, the score, the
waves of sound, all stand to one another in that pictorial internal
relation, which holds between language and the world. To all of
them the logical structure is common.
(Like the two youths, their two horses and their lilies in the
story. They are all in a certain sense one.)
4.0141 In the fact that there is a general rule by which the musician is
able to read the symphony out of the score, and that there is
a rule by which one could reconstruct the symphony from the
line on a gramophone record and from this againby means
of the rst ruleconstruct the score, herein lies the internal
similarity between these things which at rst sight seem to be
entirely dierent. And the rule is the law of projection which
projects the symphony into the language of the musical score.
It is the rule of translation of this language into the language of
the gramophone record.
4.015 The possibility of all similes, of all the imagery of our language,
rests on the logic of representation.
4.016 In order to understand the essence of the proposition, consider
hieroglyphic writing, which pictures the facts it describes.
And from it came the alphabet without the essence of the
representation being lost.
4.02 This we see from the fact that we understand the sense of the
propositional sign, without having had it explained to us.
4.021 The proposition is a picture of reality, for I know the state of
aairs presented by it, if I understand the proposition. And I
understand the proposition, without its sense having been explained to me.
4.022 The proposition shows its sense.
The proposition shows how things stand, if it is true. And
it says, that they do so stand.
40
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
4.023 The proposition determines reality to this extent, that one only
needs to say Yes or No to it to make it agree with reality.
It must therefore be completely described by the proposition.
A proposition is the description of a fact.
As the description of an object describes it by its external
properties so propositions describe reality by its internal properties.
The proposition constructs a world with the help of a logical
scaolding, and therefore one can actually see in the proposition
all the logical features possessed by reality if it is true. One can
draw conclusions from a false proposition.
4.024 To understand a proposition means to know what is the case, if
it is true.
(One can therefore understand it without knowing whether
it is true or not.)
One understands it if one understands its constituent parts.
4.025 The translation of one language into another is not a process
of translating each proposition of the one into a proposition of
the other, but only the constituent parts of propositions are
translated.
(And the dictionary does not only translate substantives but
also adverbs and conjunctions, etc., and it treats them all alike.)
4.026 The meanings of the simple signs (the words) must be explained
to us, if we are to understand them.
By means of propositions we explain ourselves.
4.027 It is essential to propositions, that they can communicate a new
sense to us.
4.03 A proposition must communicate a new sense with old words.
The proposition communicates to us a state of aairs, therefore it must be essentially connected with the state of aairs.
And the connexion is, in fact, that it is its logical picture.
The proposition only asserts something, in so far as it is a
picture.
4.031 In the proposition a state of aairs is, as it were, put together
for the sake of experiment.
41
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
One can say, instead of, This proposition has such and such
a sense, This proposition represents such and such a state of
aairs.
4.0311 One name stands for one thing, and another for another thing,
and they are connected together. And so the whole, like a living
picture, presents the atomic fact.
4.0312 The possibility of propositions is based upon the principle of the
representation of objects by signs.
My fundamental thought is that the logical constants do
not represent. That the logic of the facts cannot be represented.
4.032 The proposition is a picture of its state of aairs, only in so far
as it is logically articulated.
(Even the proposition ambulo is composite, for its stem
gives a dierent sense with another termination, or its termination with another stem.)
4.04 In the proposition there must be exactly as many things distinguishable as there are in the state of aairs, which it represents.
They must both possess the same logical (mathematical)
multiplicity (cf. Hertz's Mechanics, on Dynamic Models).
4.041 This mathematical multiplicity naturally cannot in its turn be
represented. One cannot get outside it in the representation.
4.0411 If we tried, for example, to express what is expressed by (x).fx
by putting an index before fx, like: Gen. fx, it would not do,
we should not know what was generalized. If we tried to show
it by an index g, like: f(xg) it would not dowe should not
know the scope of the generalization.
If we were to try it by introducing a mark in the argument
places, like (G, G) . F(G, G), it would not dowe could not
determine the identity of the variables, etc.
All these ways of symbolizing are inadequate because they
have not the necessary mathematical multiplicity.
4.0412 For the same reason the idealist explanation of the seeing of spatial relations through spatial spectacles does not do, because
it cannot explain the multiplicity of these relations.
4.05 Reality is compared with the proposition.
42
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
4.06 Propositions can be true or false only by being pictures of the
reality.
4.061 If one does not observe that propositions have a sense independent of the facts, one can easily believe that true and false
are two relations between signs and things signi ed with equal
rights.
One could then, for example, say that p signi es in the true
way what ∼p signi es in the false way, etc.
4.062 Can we not make ourselves understood by means of false propositions as hitherto with true ones, so long as we know that they
are meant to be false? No! For a proposition is true, if what
we assert by means of it is the case; and if by p we mean ∼p,
and what we mean is the case, then p in the new conception
is true and not false.
4.0621 That, however, the signs p and ∼p can say the same thing is
important, for it shows that the sign ∼ corresponds to nothing
in reality.
That negation occurs in a proposition, is no characteristic of
its sense (∼∼p = p).
The propositions p and ∼p have opposite senses, but to
them corresponds one and the same reality.
4.063 An illustration to explain the concept of truth. A black spot on
white paper; the form of the spot can be described by saying
of each point of the plane whether it is white or black. To the
fact that a point is black corresponds a positive fact; to the fact
that a point is white (not black), a negative fact. If I indicate
a point of the plane (a truth-value in Frege's terminology), this
corresponds to the assumption proposed for judgment, etc. etc.
But to be able to say that a point is black or white, I must
rst know under what conditions a point is called white or black;
in order to be able to say p is true (or false) I must have
determined under what conditions I call p true, and thereby I
determine the sense of the proposition.
The point at which the simile breaks down is this: we can
indicate a point on the paper, without knowing what white and
black are; but to a proposition without a sense corresponds nothing at all, for it signi es no thing (truth-value) whose properties
43
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
are called false or true; the verb of the proposition is not is
true or is falseas Frege thoughtbut that which is true
must already contain the verb.
4.064 Every proposition must already have a sense; assertion cannot
give it a sense, for what it asserts is the sense itself. And the
same holds of denial, etc.
4.0641 One could say, the denial is already related to the logical place
determined by the proposition that is denied.
The denying proposition determines a logical place other
than does the proposition denied.
The denying proposition determines a logical place, with the
help of the logical place of the proposition denied, by saying that
it lies outside the latter place.
That one can deny again the denied proposition, shows that
what is denied is already a proposition and not merely the preliminary to a proposition.
4.1 A proposition presents the existence and non-existence of atomic
facts.
4.11 The totality of true propositions is the total natural science (or
the totality of the natural sciences).
4.111 Philosophy is not one of the natural sciences.
(The word philosophy must mean something which stands
above or below, but not beside the natural sciences.)
4.112 The object of philosophy is the logical clari cation of thoughts.
Philosophy is not a theory but an activity.
A philosophical work consists essentially of elucidations.
The result of philosophy is not a number of philosophical
propositions, but to make propositions clear.
Philosophy should make clear and delimit sharply the
thoughts which otherwise are, as it were, opaque and blurred.
4.1121 Psychology is no nearer related to philosophy, than is any other
natural science.
The theory of knowledge is the philosophy of psychology.
Does not my study of sign-language correspond to the study
of thought processes which philosophers held to be so essential
44
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
to the philosophy of logic? Only they got entangled for the most
part in unessential psychological investigations, and there is an
analogous danger for my method.
4.1122 The Darwinian theory has no more to do with philosophy than
has any other hypothesis of natural science.
4.113 Philosophy limits the disputable sphere of natural science.
4.114 It should limit the thinkable and thereby the unthinkable.
It should limit the unthinkable from within through the
thinkable.
4.115 It will mean the unspeakable by clearly displaying the speakable.
4.116 Everything that can be thought at all can be thought clearly.
Everything that can be said can be said clearly.
4.12 Propositions can represent the whole reality, but they cannot
represent what they must have in common with reality in order
to be able to represent itthe logical form.
To be able to represent the logical form, we should have to
be able to put ourselves with the propositions outside logic, that
is outside the world.
4.121 Propositions cannot represent the logical form: this mirrors itself
in the propositions.
That which mirrors itself in language, language cannot represent.
That which expresses itself in language, we cannot express
by language.
The propositions show the logical form of reality.
They exhibit it.
4.1211 Thus a proposition f a shows that in its sense the object a
occurs, two propositions f a and ga that they are both about
the same object.
If two propositions contradict one another, this is shown by
their structure; similarly if one follows from another, etc.
4.1212 What can be shown cannot be said.
4.1213 Now we understand our feeling that we are in possession of the
right logical conception, if only all is right in our symbolism.
45
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
4.122 We can speak in a certain sense of formal properties of objects
and atomic facts, or of properties of the structure of facts, and
in the same sense of formal relations and relations of structures.
(Instead of property of the structure I also say internal property; instead of relation of structures internal relation.
I introduce these expressions in order to show the reason
for the confusion, very widespread among philosophers, between
internal relations and proper (external) relations.)
The holding of such internal properties and relations cannot,
however, be asserted by propositions, but it shows itself in the
propositions, which present the atomic facts and treat of the
objects in question.
4.1221 An internal property of a fact we also call a feature of this fact.
(In the sense in which we speak of facial features.)
4.123 A property is internal if it is unthinkable that its object does
not possess it.
(This blue colour and that stand in the internal relation of
brighter and darker eo ipso. It is unthinkable that these two
objects should not stand in this relation.)
(Here to the shifting use of the words property and relation there corresponds the shifting use of the word object.)
4.124 The existence of an internal property of a possible state of aairs
is not expressed by a proposition, but it expresses itself in the
proposition which presents that state of aairs, by an internal
property of this proposition.
It would be as senseless to ascribe a formal property to a
proposition as to deny it the formal property.
4.1241 One cannot distinguish forms from one another by saying that
one has this property but the other that: for this assumes that
there is a sense in asserting either property of either form.
4.125 The existence of an internal relation between possible states of
aairs expresses itself in language by an internal relation between the propositions presenting them.
4.1251 Here the disputed question whether all relations are internal or
external disappears.
46
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
4.1252 Series which are ordered by internal relations I call formal series.
The series of numbers is ordered not by an external, but by
an internal relation.
Similarly the series of propositions aRb,
“(∃x) : aRx . xRb,
“(∃x, y) : aRx . aRy . yRb, etc.
(If b stands in one of these relations to a, I call b a successor
of a.)
4.126 In the sense in which we speak of formal properties we can now
speak also of formal concepts.
(I introduce this expression in order to make clear the confusion of formal concepts with proper concepts which runs through
the whole of the old logic.)
That anything falls under a formal concept as an object belonging to it, cannot be expressed by a proposition. But it shows
itself in the sign of this object itself. (The name shows that it
signi es an object, the numerical sign that it signi es a number,
etc.)
Formal concepts cannot, like proper concepts, be presented
by a function.
For their characteristics, the formal properties, are not expressed by the functions.
The expression of a formal property is a feature of certain
symbols.
The sign that signi es the characteristics of a formal concept is, therefore, a characteristic feature of all symbols, whose
meanings fall under the concept.
The expression of the formal concept is therefore a propositional variable in which only this characteristic feature is constant.
4.127 The propositional variable signi es the formal concept, and its
values signify the objects which fall under this concept.
4.1271 Every variable is the sign of a formal concept.
For every variable presents a constant form, which all its
values possess, and which can be conceived as a formal property
of these values.
47
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
4.1272 So the variable name x is the proper sign of the pseudo-concept
object.
Wherever the word object (thing, entity, etc.) is rightly
used, it is expressed in logical symbolism by the variable name.
For example in the proposition there are two objects which
. . . , by (∃x, y) . . . .
Wherever it is used otherwise, i.e. as a proper concept word,
there arise senseless pseudo-propositions.
So one cannot, e.g. say There are objects as one says There
are books. Nor There are 100 objects or There are ℵ0 objects. And it is senseless to speak of the number of all objects.
The same holds of the words Complex, Fact, Function,
Number, etc.
They all signify formal concepts and are presented in logical
symbolism by variables, not by functions or classes (as Frege
and Russell thought).
Expressions like 1 is a number, there is only one number
nought, and all like them are senseless.
(It is as senseless to say, there is only one 1 as it would be
to say: 2 + 2 is at 3 o'clock equal to 4.)
4.12721 The formal concept is already given with an object, which falls
under it. One cannot, therefore, introduce both, the objects
which fall under a formal concept and the formal concept itself, as primitive ideas. One cannot, therefore, e.g. introduce
(as Russell does) the concept of function and also special functions as primitive ideas; or the concept of number and de nite
numbers.
4.1273 If we want to express in logical symbolism the general proposition b is a successor of a we need for this an expression for
the general term of the formal series: aRb, (∃x) : aRx . xRb,
(∃x, y) : aRx . xRy . yRb, . . . The general term of a formal series
can only be expressed by a variable, for the concept symbolized
by term of this formal series is a formal concept. (This Frege
and Russell overlooked; the way in which they express general
propositions like the above is, therefore, false; it contains a vicious circle.)
We can determine the general term of the formal series by
48
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
giving its rst term and the general form of the operation, which
generates the following term out of the preceding proposition.
4.1274 The question about the existence of a formal concept is senseless.
For no proposition can answer such a question.
(For example, one cannot ask: Are there unanalysable subject-predicate propositions?)
4.128 The logical forms are anumerical.
Therefore there are in logic no pre-eminent numbers, and
therefore there is no philosophical monism or dualism, etc.
4.2 The sense of a proposition is its agreement and disagreement
with the possibilities of the existence and non-existence of the
atomic facts.
4.21 The simplest proposition, the elementary proposition, asserts
the existence of an atomic fact.
4.211 It is a sign of an elementary proposition, that no elementary
proposition can contradict it.
4.22 The elementary proposition consists of names. It is a connexion,
a concatenation, of names.
4.221 It is obvious that in the analysis of propositions we must come
to elementary propositions, which consist of names in immediate
combination.
The question arises here, how the propositional connexion
comes to be.
4.2211 Even if the world is in nitely complex, so that every fact consists
of an in nite number of atomic facts and every atomic fact is
composed of an in nite number of objects, even then there must
be objects and atomic facts.
4.23 The name occurs in the proposition only in the context of the
elementary proposition.
4.24 The names are the simple symbols, I indicate them by single
letters (x, y, z).
The elementary proposition I write as function of the names,
in the form fx, ϕ(x, y), etc.
Or I indicate it by the letters p, q, r.
49
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
4.241 If I use two signs with one and the same meaning, I express this
by putting between them the sign =.
a = b means then, that the sign a is replaceable by the
sign b.
(If I introduce by an equation a new sign b, by determining
that it shall replace a previously known sign a, I write the
equationde nition(like Russell) in the form a = b Def.. A
de nition is a symbolic rule.)
4.242 Expressions of the form a = b are therefore only expedients
in presentation: They assert nothing about the meaning of the
signs a and b.
4.243 Can we understand two names without knowing whether they
signify the same thing or two dierent things? Can we understand a proposition in which two names occur, without knowing
if they mean the same or dierent things?
If I know the meaning of an English and a synonymous German word, it is impossible for me not to know that they are
synonymous, it is impossible for me not to be able to translate
them into one another.
Expressions like a = a, or expressions deduced from these
are neither elementary propositions nor otherwise signi cant
signs. (This will be shown later.)
4.25 If the elementary proposition is true, the atomic fact exists; if it
is false the atomic fact does not exist.
4.26 The speci cation of all true elementary propositions describes
the world completely. The world is completely described by the
speci cation of all elementary propositions plus the speci cation,
which of them are true and which false.
4.27 With regard to the existence of n atomic facts there are Kn =
Pn
ν=0
n
ν
possibilities.
It is possible for all combinations of atomic facts to exist,
and the others not to exist.
4.28 To these combinations correspond the same number of possibilities of the truthand falsehoodof n elementary propositions.
4.3 The truth-possibilities of the elementary propositions mean the
5
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
possibilities of the existence and non-existence of the atomic
facts.
4.31 The truth-possibilities can be presented by schemata of the following kind (T means true, F false. The rows of T's and
F's under the row of the elementary propositions mean their
truth-possibilities in an easily intelligible symbolism).
p q r
T T T
F T T
T F T
T T F
F F T
F T F
T F F
F F F
p q
T T
F T
T F
F F
p
T
F
4.4 A proposition is the expression of agreement and disagreement
with the truth-possibilities of the elementary propositions.
4.41 The truth-possibilities of the elementary propositions are the
conditions of the truth and falsehood of the propositions.
4.411 It seems probable even at rst sight that the introduction of the
elementary propositions is fundamental for the comprehension of
the other kinds of propositions. Indeed the comprehension of the
general propositions depends palpably on that of the elementary
propositions.
4.42 With regard to the agreement and disagreement of a proposition
with the truth-possibilities of n elementary propositions there
are P
Kn
κ=0
Kn
κ
= Ln possibilities.
4.43 Agreement with the truth-possibilities can be expressed by coordinating with them in the schema the mark T (true).
Absence of this mark means disagreement.
4.431 The expression of the agreement and disagreement with the
truth-possibilities of the elementary propositions expresses the
truth-conditions of the proposition.
5
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
The proposition is the expression of its truth-conditions.
(Frege has therefore quite rightly put them at the beginning,
as explaining the signs of his logical symbolism. Only Frege's
explanation of the truth-concept is false: if the true and the
false were real objects and the arguments in ∼p, etc., then
the sense of ∼p would by no means be determined by Frege's
determination.)
4.44 The sign which arises from the co-ordination of that mark T
with the truth-possibilities is a propositional sign.
4.441 It is clear that to the complex of the signs F and T no object
(or complex of objects) corresponds; any more than to horizontal
and vertical lines or to brackets. There are no logical objects.
Something analogous holds of course for all signs, which express the same as the schemata of T and F.
4.442 Thus e.g.
p q
T T T
F T T
T F
F F T
is a propositional sign.
(Frege's assertion sign ⊢ is logically altogether meaningless;
in Frege (and Russell) it only shows that these authors hold as
true the propositions marked in this way.
⊢ belongs therefore to the propositions no more than does
the number of the proposition. A proposition cannot possibly
assert of itself that it is true.)
If the sequence of the truth-possibilities in the schema is once
for all determined by a rule of combination, then the last column
is by itself an expression of the truth-conditions. If we write this
column as a row the propositional sign becomes: (TTT)(p, q),
or more plainly: (TTFT)(p, q).
(The number of places in the left-hand bracket is determined
by the number of terms in the right-hand bracket.)
4.45 For n elementary propositions there are Ln possible groups of
truth-conditions.
52
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
The groups of truth-conditions which belong to the truthpossibilities of a number of elementary propositions can be ordered in a series.
4.46 Among the possible groups of truth-conditions there are two
extreme cases.
In the one case the proposition is true for all the truth-possibilities of the elementary propositions. We say that the truthconditions are tautological.
In the second case the proposition is false for all the truthpossibilities. The truth-conditions are self-contradictory.
In the rst case we call the proposition a tautology, in the
second case a contradiction.
4.461 The proposition shows what it says, the tautology and the contradiction that they say nothing.
The tautology has no truth-conditions, for it is unconditionally true; and the contradiction is on no condition true.
Tautology and contradiction are without sense.
(Like the point from which two arrows go out in opposite
directions.)
(I know, e.g. nothing about the weather, when I know that
it rains or does not rain.)
4.4611 Tautology and contradiction are, however, not senseless; they
are part of the symbolism, in the same way that 0 is part of
the symbolism of Arithmetic.
4.462 Tautology and contradiction are not pictures of the reality. They
present no possible state of aairs. For the one allows every
possible state of aairs, the other none.
In the tautology the conditions of agreement with the world
the presenting relationscancel one another, so that it stands
in no presenting relation to reality.
4.463 The truth-conditions determine the range, which is left to the
facts by the proposition.
(The proposition, the picture, the model, are in a negative
sense like a solid body, which restricts the free movement of
another: in a positive sense, like the space limited by solid substance, in which a body may be placed.)
53
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Tautology leaves to reality the whole in nite logical space;
contradiction lls the whole logical space and leaves no point to
reality. Neither of them, therefore, can in any way determine
reality.
4.464 The truth of tautology is certain, of propositions possible, of
contradiction impossible. (Certain, possible, impossible: here
we have an indication of that gradation which we need in the
theory of probability.)
4.465 The logical product of a tautology and a proposition says the
same as the proposition. Therefore that product is identical
with the proposition. For the essence of the symbol cannot be
altered without altering its sense.
4.466 To a de nite logical combination of signs corresponds a de nite
logical combination of their meanings; every arbitrary combination only corresponds to the unconnected signs.
That is, propositions which are true for every state of aairs
cannot be combinations of signs at all, for otherwise there could
only correspond to them de nite combinations of objects.
(And to no logical combination corresponds no combination
of the objects.)
Tautology and contradiction are the limiting cases of the
combinations of symbols, namely their dissolution.
4.4661 Of course the signs are also combined with one another in the
tautology and contradiction, i.e. they stand in relations to one
another, but these relations are meaningless, unessential to the
symbol.
4.5 Now it appears to be possible to give the most general form of
proposition; i.e. to give a description of the propositions of some
one sign language, so that every possible sense can be expressed
by a symbol, which falls under the description, and so that every
symbol which falls under the description can express a sense, if
the meanings of the names are chosen accordingly.
It is clear that in the description of the most general form
of proposition only what is essential to it may be described
otherwise it would not be the most general form.
That there is a general form is proved by the fact that there
54
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
cannot be a proposition whose form could not have been foreseen
(i.e. constructed). The general form of proposition is: Such and
such is the case.
4.51 Suppose all elementary propositions were given me: then we
can simply ask: what propositions I can build out of them. And
these are all propositions and so are they limited.
4.52 The propositions are everything which follows from the totality
of all elementary propositions (of course also from the fact that
it is the totality of them all). (So, in some sense, one could
say, that all propositions are generalizations of the elementary
propositions.)
4.53 The general propositional form is a variable.
5 Propositions are truth-functions of elementary propositions.
(An elementary proposition is a truth-function of itself.)
5.01 The elementary propositions are the truth-arguments of propositions.
5.02 It is natural to confuse the arguments of functions with the
indices of names. For I recognize the meaning of the sign containing it from the argument just as much as from the index.
In Russell's +c, for example, c is an index which indicates
that the whole sign is the addition sign for cardinal numbers.
But this way of symbolizing depends on arbitrary agreement,
and one could choose a simple sign instead of +c: but in ∼p
p is not an index but an argument; the sense of ∼p cannot
be understood, unless the sense of p has previously been understood. (In the name Julius Cæsar, Julius is an index. The
index is always part of a description of the object to whose name
we attach it, e.g. The Cæsar of the Julian gens.)
The confusion of argument and index is, if I am not mistaken,
at the root of Frege's theory of the meaning of propositions and
functions. For Frege the propositions of logic were names and
their arguments the indices of these names.
5.1 The truth-functions can be ordered in series.
That is the foundation of the theory of probability.
55
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.101 The truth-functions of every number of elementary propositions
can be written in a schema of the following kind:
(TTTT)(p, q) Tautology (if p then p, and if q then q) [p ⊃ p . q ⊃ q]
(FTTT)(p, q) in words: Not both p and q. [∼(p . q)]
(TFTT)(p, q) If q then p. [q ⊃ p]
(TTFT)(p, q) If p then q. [p ⊃ q]
(TTTF)(p, q) p or q. [p ∨ q]
(FFTT)(p, q) Not q. [∼q]
(FTFT)(p, q) Not p. [∼p]
(FTTF)(p, q) p or q, but not both. [p . ∼q : ∨ : q . ∼p]
(TFFT)(p, q) If p, then q; and if q, then p. [p ≡ q]
(TFTF)(p, q) p
(TTFF)(p, q) q
(FFFT)(p, q) Neither p nor q. [∼p . ∼q or p | q]
(FFTF)(p, q) p and not q. [p . ∼q]
(FTFF)(p, q) q and not p. [q . ∼p]
(TFFF)(p, q) p and q. [p . q]
(FFFF)(p, q) Contradiction (p and not p; and q and not q.) [p . ∼p . q . ∼q]
Those truth-possibilities of its truth-arguments, which verify
the proposition, I shall call its truth-grounds.
5.11 If the truth-grounds which are common to a number of propositions are all also truth-grounds of some one proposition, we say
that the truth of this proposition follows from the truth of those
propositions.
5.12 In particular the truth of a proposition p follows from that of a
proposition q, if all the truth-grounds of the second are truthgrounds of the rst.
5.121 The truth-grounds of q are contained in those of p; p follows
from q.
5.122 If p follows from q, the sense of p is contained in that of q.
5.123 If a god creates a world in which certain propositions are true, he
creates thereby also a world in which all propositions consequent
on them are true. And similarly he could not create a world in
which the proposition p is true without creating all its objects.
5.124 A proposition asserts every proposition which follows from it.
5.1241 p.q is one of the propositions which assert p and at the same
time one of the propositions which assert q.
56
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Two propositions are opposed to one another if there is no
signi cant proposition which asserts them both.
Every proposition which contradicts another, denies it.
5.13 That the truth of one proposition follows from the truth of other
propositions, we perceive from the structure of the propositions.
5.131 If the truth of one proposition follows from the truth of others,
this expresses itself in relations in which the forms of these propositions stand to one another, and we do not need to put them
in these relations rst by connecting them with one another in
a proposition; for these relations are internal, and exist as soon
as, and by the very fact that, the propositions exist.
5.1311 When we conclude from p ∨ q and ∼p to q the relation between
the forms of the propositions p ∨ q and ∼p is here concealed
by the method of symbolizing. But if we write, e.g. instead of
p ∨ q p | q . | . p | q and instead of ∼p p | p (p | q = neither
p nor q), then the inner connexion becomes obvious.
(The fact that we can infer f a from (x). fx shows that generality is present also in the symbol (x) . fx.
5.132 If p follows from q, I can conclude from q to p; infer p from q.
The method of inference is to be understood from the two
propositions alone.
Only they themselves can justify the inference.
Laws of inference, whichas in Frege and Russellare to
justify the conclusions, are senseless and would be super uous.
5.133 All inference takes place a priori.
5.134 From an elementary proposition no other can be inferred.
5.135 In no way can an inference be made from the existence of one
state of aairs to the existence of another entirely dierent from
it.
5.136 There is no causal nexus which justi es such an inference.
5.1361 The events of the future cannot be inferred from those of the
present.
Superstition is the belief in the causal nexus.
5.1362 The freedom of the will consists in the fact that future actions
57
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
cannot be known now. We could only know them if causality
were an inner necessity, like that of logical deduction.The
connexion of knowledge and what is known is that of logical
necessity.
(A knows that p is the case is senseless if p is a tautology.)
5.1363 If from the fact that a proposition is obvious to us it does not
follow that it is true, then obviousness is no justi cation for our
belief in its truth.
5.14 If a proposition follows from another, then the latter says more
than the former, the former less than the latter.
5.141 If p follows from q and q from p then they are one and the same
proposition.
5.142 A tautology follows from all propositions: it says nothing.
5.143 Contradiction is something shared by propositions, which no
proposition has in common with another. Tautology is that
which is shared by all propositions, which have nothing in common with one another.
Contradiction vanishes so to speak outside, tautology inside
all propositions.
Contradiction is the external limit of the propositions, tautology their substanceless centre.
5.15 If Tr is the number of the truth-grounds of the proposition r,
Trs the number of those truth-grounds of the proposition s
which are at the same time truth-grounds of r, then we call
the ratio Trs : Tr the measure of the probability which the proposition r gives to the proposition s.
5.151 Suppose in a schema like that above in No. 5.101 Tr is the number of the T's in the proposition r, Trs the number of those
T's in the proposition s, which stand in the same columns as
T's of the proposition r; then the proposition r gives to the
proposition s the probability Trs : Tr.
5.1511 There is no special object peculiar to probability propositions.
5.152 Propositions which have no truth-arguments in common with
one another we call independent.
58
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Independent propositions (e.g. any two elementary propositions) give to one another the probability 1
2
.
If p follows from q, the proposition q gives to the proposition
p the probability 1. The certainty of logical conclusion is a
limiting case of probability.
(Application to tautology and contradiction.)
5.153 A proposition is in itself neither probable nor improbable. An
event occurs or does not occur, there is no middle course.
5.154 In an urn there are equal numbers of white and black balls (and
no others). I draw one ball after another and put them back in
the urn. Then I can determine by the experiment that the numbers of the black and white balls which are drawn approximate
as the drawing continues.
So this is not a mathematical fact.
If then, I say, It is equally probable that I should draw a
white and a black ball, this means, All the circumstances known
to me (including the natural laws hypothetically assumed) give
to the occurrence of the one event no more probability than to
the occurrence of the other. That is they giveas can easily be
understood from the above explanationsto each the probability 1
2
.
What I can verify by the experiment is that the occurrence of
the two events is independent of the circumstances with which
I have no closer acquaintance.
5.155 The unit of the probability proposition is: The circumstances
with which I am not further acquaintedgive to the occurrence
of a de nite event such and such a degree of probability.
5.156 Probability is a generalization.
It involves a general description of a propositional form. Only
in default of certainty do we need probability.
If we are not completely acquainted with a fact, but know
something about its form.
(A proposition can, indeed, be an incomplete picture of a
certain state of aairs, but it is always a complete picture.)
The probability proposition is, as it were, an extract from
other propositions.
59
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.2 The structures of propositions stand to one another in internal
relations.
5.21 We can bring out these internal relations in our manner of expression, by presenting a proposition as the result of an operation which produces it from other propositions (the bases of the
operation).
5.22 The operation is the expression of a relation between the structures of its result and its bases.
5.23 The operation is that which must happen to a proposition in
order to make another out of it.
5.231 And that will naturally depend on their formal properties, on
the internal similarity of their forms.
5.232 The internal relation which orders a series is equivalent to the
operation by which one term arises from another.
5.233 The rst place in which an operation can occur is where a proposition arises from another in a logically signi cant way; i.e.
where the logical construction of the proposition begins.
5.234 The truth-functions of elementary propositions, are results of
operations which have the elementary propositions as bases. (I
call these operations, truth-operations.)
5.2341 The sense of a truth-function of p is a function of the sense of p.
Denial, logical addition, logical multiplication, etc. etc., are
operations.
(Denial reverses the sense of a proposition.)
5.24 An operation shows itself in a variable; it shows how we can
proceed from one form of proposition to another.
It gives expression to the dierence between the forms.
(And that which is common to the bases, and the result of
an operation, is the bases themselves.)
5.241 The operation does not characterize a form but only the dierence between forms.
5.242 The same operation which makes q from p, makes r from
q, and so on. This can only be expressed by the fact that
p, q, r, etc., are variables which give general expression to
certain formal relations.
60
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.25 The occurrence of an operation does not characterize the sense
of a proposition.
For an operation does not assert anything; only its result
does, and this depends on the bases of the operation.
(Operation and function must not be confused with one another.)
5.251 A function cannot be its own argument, but the result of an
operation can be its own basis.
5.252 Only in this way is the progress from term to term in a formal
series possible (from type to type in the hierarchy of Russell
and Whitehead). (Russell and Whitehead have not admitted
the possibility of this progress but have made use of it all the
same.)
5.2521 The repeated application of an operation to its own result I call
its successive application (O′O′O′a is the result of the threefold
successive application of O′
ξ to a).
In a similar sense I speak of the successive application of
several operations to a number of propositions.
5.2522 The general term of the formal series a, O′a, O′O′a, . . . . I write
thus: [a, x, O′x]. This expression in brackets is a variable. The
rst term of the expression is the beginning of the formal series,
the second the form of an arbitrary term x of the series, and
the third the form of that term of the series which immediately
follows x.
5.2523 The concept of the successive application of an operation is
equivalent to the concept and so on.
5.253 One operation can reverse the eect of another. Operations can
cancel one another.
5.254 Operations can vanish (e.g. denial in ∼∼p, ∼∼p = p).
5.3 All propositions are results of truth-operations on the elementary propositions.
The truth-operation is the way in which a truth-function
arises from elementary propositions.
According to the nature of truth-operations, in the same way
as out of elementary propositions arise their truth-functions,
61
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
from truth-functions arises a new one. Every truth-operation
creates from truth-functions of elementary propositions another
truth-function of elementary propositions, i.e. a proposition.
The result of every truth-operation on the results of truth-operations on elementary propositions is also the result of one truthoperation on elementary propositions.
Every proposition is the result of truth-operations on elementary propositions.
5.31 The Schemata No. 4.31 are also signi cant, if p, q, r, etc.
are not elementary propositions.
And it is easy to see that the propositional sign in No. 4.442
expresses one truth-function of elementary propositions even
when p and q are truth-functions of elementary propositions.
5.32 All truth-functions are results of the successive application of a
nite number of truth-operations to elementary propositions.
5.4 Here it becomes clear that there are no such things as logical
objects or logical constants (in the sense of Frege and Russell).
5.41 For all those results of truth-operations on truth-functions are
identical, which are one and the same truth-function of elementary propositions.
5.42 That ∨, ⊃, etc., are not relations in the sense of right and left,
etc., is obvious.
The possibility of crosswise de nition of the logical primitive
signs of Frege and Russell shows by itself that these are not
primitive signs and that they signify no relations.
And it is obvious that the ⊃ which we de ne by means of
∼ and ∨ is identical with that by which we de ne ∨ with
the help of ∼, and that this ∨ is the same as the rst, and
so on.
5.43 That from a fact p an in nite number of others should follow,
namely ∼∼p, ∼∼∼∼p, etc., is indeed hardly to be believed, and
it is no less wonderful that the in nite number of propositions of
logic (of mathematics) should follow from half a dozen primitive
propositions.
But all propositions of logic say the same thing. That is,
nothing.
62
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.44 Truth-functions are not material functions.
If e.g. an a rmation can be produced by repeated denial, is
the denialin any sensecontained in the a rmation?
Does ∼∼p deny ∼p, or does it a rm p; or both?
The proposition ∼∼p does not treat of denial as an object,
but the possibility of denial is already prejudged in a rmation.
And if there was an object called ∼, then ∼∼p would
have to say something other than p. For the one proposition
would then treat of ∼, the other would not.
5.441 This disappearance of the apparent logical constants also occurs
if ∼(∃x).∼fx says the same as (x). fx, or (∃x). fx . x = a
the same as f a.
5.442 If a proposition is given to us then the results of all truthoperations which have it as their basis are given with it.
5.45 If there are logical primitive signs a correct logic must make clear
their position relative to one another and justify their existence.
The construction of logic out of its primitive signs must become
clear.
5.451 If logic has primitive ideas these must be independent of one another. If a primitive idea is introduced it must be introduced in
all contexts in which it occurs at all. One cannot therefore introduce it for one context and then again for another. For example,
if denial is introduced, we must understand it in propositions of
the form ∼p, just as in propositions like ∼(p∨q), (∃x).∼fx
and others. We may not rst introduce it for one class of cases
and then for another, for it would then remain doubtful whether
its meaning in the two cases was the same, and there would be
no reason to use the same way of symbolizing in the two cases.
(In short, what Frege (Grundgesetze der Arithmetik) has
said about the introduction of signs by de nitions holds, mutatis
mutandis, for the introduction of primitive signs also.)
5.452 The introduction of a new expedient in the symbolism of logic
must always be an event full of consequences. No new symbol
may be introduced in logic in brackets or in the marginwith,
so to speak, an entirely innocent face.
(Thus in the Principia Mathematica of Russell and White63
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
head there occur de nitions and primitive propositions in words.
Why suddenly words here? This would need a justi cation.
There was none, and can be none for the process is actually
not allowed.)
But if the introduction of a new expedient has proved necessary in one place, we must immediately ask: Where is this
expedient always to be used? Its position in logic must be made
clear.
5.453 All numbers in logic must be capable of justi cation.
Or rather it must become plain that there are no numbers
in logic.
There are no pre-eminent numbers.
5.454 In logic there is no side by side, there can be no classi cation.
In logic there cannot be a more general and a more special.
5.4541 The solution of logical problems must be simple for they set the
standard of simplicity.
Men have always thought that there must be a sphere of
questions whose answersa prioriare symmetrical and united
into a closed regular structure.
A sphere in which the proposition, simplex sigillum veri, is
valid.
5.46 When we have rightly introduced the logical signs, the sense of
all their combinations has been already introduced with them:
therefore not only p ∨ q but also ∼(p ∨ ∼q), etc. etc. We
should then already have introduced the eect of all possible
combinations of brackets; and it would then have become clear
that the proper general primitive signs are not p∨q, (∃x).fx,
etc., but the most general form of their combinations.
5.461 The apparently unimportant fact that the apparent relations
like ∨ and ⊃ need bracketsunlike real relations is of great
importance.
The use of brackets with these apparent primitive signs shows
that these are not the real primitive signs; and nobody of course
would believe that the brackets have meaning by themselves.
5.4611 Logical operation signs are punctuations.
64
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.47 It is clear that everything which can be said beforehand about
the form of all propositions at all can be said on one occasion.
For all logical operations are already contained in the elementary proposition. For f a says the same as (∃x) . fx . x = a.
Where there is composition, there is argument and function,
and where these are, all logical constants already are.
One could say: the one logical constant is that which all
propositions, according to their nature, have in common with
one another.
That however is the general form of proposition.
5.471 The general form of proposition is the essence of proposition.
5.4711 To give the essence of proposition means to give the essence of
all description, therefore the essence of the world.
5.472 The description of the most general propositional form is the
description of the one and only general primitive sign in logic.
5.473 Logic must take care of itself.
A possible sign must also be able to signify. Everything
which is possible in logic is also permitted. (Socrates is identical means nothing because there is no property which is called
identical. The proposition is senseless because we have not
made some arbitrary determination, not because the symbol is
in itself unpermissible.)
In a certain sense we cannot make mistakes in logic.
5.4731 Self-evidence, of which Russell has said so much, can only be
discarded in logic by language itself preventing every logical mistake. That logic is a priori consists in the fact that we cannot
think illogically.
5.4732 We cannot give a sign the wrong sense.
5.47321 Occam's razor is, of course, not an arbitrary rule nor one justi ed
by its practical success. It simply says that unnecessary elements
in a symbolism mean nothing.
Signs which serve one purpose are logically equivalent, signs
which serve no purpose are logically meaningless.
5.4733 Frege says: Every legitimately constructed proposition must
have a sense; and I say: Every possible proposition is legit65
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
imately constructed, and if it has no sense this can only be
because we have given no meaning to some of its constituent
parts.
(Even if we believe that we have done so.)
Thus Socrates is identical says nothing, because we have
given no meaning to the word identical as adjective. For when
it occurs as the sign of equality it symbolizes in an entirely different waythe symbolizing relation is anothertherefore the
symbol is in the two cases entirely dierent; the two symbols
have the sign in common with one another only by accident.
5.474 The number of necessary fundamental operations depends only
on our notation.
5.475 It is only a question of constructing a system of signs of a de nite
number of dimensionsof a de nite mathematical multiplicity.
5.476 It is clear that we are not concerned here with a number of
primitive ideas which must be signi ed but with the expression
of a rule.
5.5 Every truth-function is a result of the successive application of
the operation ( T)(ξ, . . . .) to elementary propositions.
This operation denies all the propositions in the right-hand
bracket and I call it the negation of these propositions.
5.501 An expression in brackets whose terms are propositions I indicateif the order of the terms in the bracket is indierentby
a sign of the form (ξ). ξ is a variable whose values are the
terms of the expression in brackets, and the line over the variable
indicates that it stands for all its values in the bracket.
(Thus if ξ has the 3 values P, Q, R, then (ξ) = (P, Q, R).)
The values of the variables must be determined.
The determination is the description of the propositions
which the variable stands for.
How the description of the terms of the expression in brackets
takes place is unessential.
We may distinguish 3 kinds of description: 1. Direct enumeration. In this case we can place simply its constant values
instead of the variable. 2. Giving a function fx, whose values for
all values of x are the propositions to be described. 3. Giving
66
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
a formal law, according to which those propositions are constructed. In this case the terms of the expression in brackets are
all the terms of a formal series.
5.502 Therefore I write instead of ( T)(ξ, . . . .), N(ξ).
N(ξ) is the negation of all the values of the propositional
variable ξ.
5.503 As it is obviously easy to express how propositions can be constructed by means of this operation and how propositions are
not to be constructed by means of it, this must be capable of
exact expression.
5.51 If ξ has only one value, then N(ξ) = ∼p (not p), if it has two
values then N(ξ) = ∼p . ∼q (neither p nor q).
5.511 How can the all-embracing logic which mirrors the world use
such special catches and manipulations? Only because all these
are connected into an in nitely ne network, to the great mirror.
5.512 ∼p is true if p is false. Therefore in the true proposition
∼p p is a false proposition. How then can the stroke ∼
bring it into agreement with reality?
That which denies in ∼p is however not ∼, but that which
all signs of this notation, which deny p, have in common.
Hence the common rule according to which ∼p, ∼∼∼p,
∼p∨∼p, ∼p .∼p, etc. etc. (to in nity) are constructed. And
this which is common to them all mirrors denial.
5.513 We could say: What is common to all symbols, which assert
both p and q, is the proposition p . q. What is common to all
symbols, which assert either p or q, is the proposition p ∨ q.
And similarly we can say: Two propositions are opposed
to one another when they have nothing in common with one
another; and every proposition has only one negative, because
there is only one proposition which lies altogether outside it.
Thus even in Russell's notation it is evident that q : p∨∼p
says the same as q; that p ∨ ∼p says nothing.
5.514 If a notation is xed, there is in it a rule according to which
all the propositions denying p are constructed, a rule according
to which all the propositions asserting p are constructed, a rule
67
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
according to which all the propositions asserting p or q are constructed, and so on. These rules are equivalent to the symbols
and in them their sense is mirrored.
5.515 It must be recognized in our symbols that what is connected by
∨, ., etc., must be propositions.
And this is the case, for the symbols p and q presuppose
∨, ∼, etc. If the sign p in p ∨ q does not stand for a
complex sign, then by itself it cannot have sense; but then also
the signs p ∨ p, p . p, etc. which have the same sense as p
have no sense. If, however, p∨p has no sense, then also p∨q
can have no sense.
5.5151 Must the sign of the negative proposition be constructed by
means of the sign of the positive? Why should one not be able
to express the negative proposition by means of a negative fact?
(Like: if a does not stand in a certain relation to b, it could
express that aRb is not the case.)
But here also the negative proposition is indirectly constructed with the positive.
The positive proposition must presuppose the existence of
the negative proposition and conversely.
5.52 If the values of ξ are the total values of a function fx for all
values of x, then N(ξ) = ∼(∃x) . fx.
5.521 I separate the concept all from the truth-function.
Frege and Russell have introduced generality in connexion
with the logical product or the logical sum. Then it would be
di cult to understand the propositions (∃x).fx and (x).fx
in which both ideas lie concealed.
5.522 That which is peculiar to the symbolism of generality is rstly,
that it refers to a logical prototype, and secondly, that it makes
constants prominent.
5.523 The generality symbol occurs as an argument.
5.524 If the objects are given, therewith are all objects also given.
If the elementary propositions are given, then therewith all
elementary propositions are also given.
5.525 It is not correct to render the proposition (∃x).fxas Russell
doesin words fx is possible.
68
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Certainty, possibility or impossibility of a state of aairs are
not expressed by a proposition but by the fact that an expression
is a tautology, a signi cant proposition or a contradiction.
That precedent to which one would always appeal, must be
present in the symbol itself.
5.526 One can describe the world completely by completely generalized propositions, i.e. without from the outset co-ordinating any
name with a de nite object.
In order then to arrive at the customary way of expression
we need simply say after an expression there is one and only
one x, which . . . .: and this x is a.
5.5261 A completely generalized proposition is like every other proposition composite. (This is shown by the fact that in (∃x, ϕ). ϕx
we must mention ϕ and x separately. Both stand independently in signifying relations to the world as in the ungeneralized
proposition.)
A characteristic of a composite symbol: it has something in
common with other symbols.
5.5262 The truth or falsehood of every proposition alters something
in the general structure of the world. And the range which is
allowed to its structure by the totality of elementary propositions is exactly that which the completely general propositions
delimit.
(If an elementary proposition is true, then, at any rate, there
is one more elementary proposition true.)
5.53 Identity of the object I express by identity of the sign and not by
means of a sign of identity. Dierence of the objects by dierence
of the signs.
5.5301 That identity is not a relation between objects is obvious. This
becomes very clear if, for example, one considers the proposition
(x) : fx. ⊃ .x = a. What this proposition says is simply that
only a satis es the function f, and not that only such things
satisfy the function f which have a certain relation to a.
One could of course say that in fact only a has this relation
to a, but in order to express this we should need the sign of
identity itself.
69
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.5302 Russell's de nition of = won't do; because according to it one
cannot say that two objects have all their properties in common. (Even if this proposition is never true, it is nevertheless
signi cant.)
5.5303 Roughly speaking: to say of two things that they are identical is
nonsense, and to say of one thing that it is identical with itself
is to say nothing.
5.531 I write therefore not f(a, b). a = b, but f(a, a) (or f(b, b)).
And not f(a, b) . ∼a = b, but f(a, b).
5.532 And analogously: not (∃x, y).f(x, y).x = y, but (∃x).f(x, x);
and not (∃x, y) . f(x, y) . ∼x = y, but (∃x, y) . f(x, y).
(Therefore instead of Russell's (∃x, y) . f(x, y): (∃x, y) .
f(x, y) . ∨ . (∃x) . f(x, x).)
5.5321 Instead of (x) : fx ⊃ x = a we therefore write e.g. (∃x).fx. ⊃
.f a : ∼(∃x, y) . fx . fy.
And the proposition only one x satis es f() reads: (∃x) .
fx : ∼(∃x, y) . fx . fy.
5.533 The identity sign is therefore not an essential constituent of logical notation.
5.534 And we see that apparent propositions like: a = a, a = b. b =
c. ⊃ a = c, (x) . x = x, (∃x) . x = a, etc. cannot be written
in a correct logical notation at all.
5.535 So all problems disappear which are connected with such pseudo-propositions.
This is the place to solve all the problems which arise through
Russell's Axiom of In nity.
What the axiom of in nity is meant to say would be expressed in language by the fact that there is an in nite number
of names with dierent meanings.
5.5351 There are certain cases in which one is tempted to use expressions of the form a = a or p ⊃ p and of that kind. And
indeed this takes place when one would like to speak of the
archetype Proposition, Thing, etc. So Russell in the Principles
of Mathematics has rendered the nonsense p is a proposition in
symbols by p ⊃ p and has put it as hypothesis before certain
70
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
propositions to show that their places for arguments could only
be occupied by propositions.
(It is nonsense to place the hypothesis p ⊃ p before a proposition in order to ensure that its arguments have the right form,
because the hypothesis for a non-proposition as argument becomes not false but meaningless, and because the proposition
itself becomes senseless for arguments of the wrong kind, and
therefore it survives the wrong arguments no better and no worse
than the senseless hypothesis attached for this purpose.)
5.5352 Similarly it was proposed to express There are no things by
∼(∃x) . x = x. But even if this were a propositionwould it
not be true if indeed There were things, but these were not
identical with themselves?
5.54 In the general propositional form, propositions occur in a proposition only as bases of the truth-operations.
5.541 At rst sight it appears as if there were also a dierent way in
which one proposition could occur in another.
Especially in certain propositional forms of psychology, like
A thinks, that p is the case, or A thinks p, etc.
Here it appears super cially as if the proposition p stood to
the object A in a kind of relation.
(And in modern epistemology (Russell, Moore, etc.) those
propositions have been conceived in this way.)
5.542 But it is clear that A believes that p, A thinks p, A says p,
are of the form p' says p: and here we have no co-ordination
of a fact and an object, but a co-ordination of facts by means of
a co-ordination of their objects.
5.5421 This shows that there is no such thing as the soulthe subject,
etc.as it is conceived in contemporary super cial psychology.
A composite soul would not be a soul any longer.
5.5422 The correct explanation of the form of the proposition A judges
p must show that it is impossible to judge a nonsense. (Russell's
theory does not satisfy this condition.)
5.5423 To perceive a complex means to perceive that its constituents
are combined in such and such a way.
71
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
This perhaps explains that the gure
can be seen in two ways as a cube; and all similar phenomena.
For we really see two dierent facts.
(If I x my eyes rst on the corners a and only glance at b,
a appears in front and b behind, and vice versa.)
5.55 We must now answer a priori the question as to all possible forms
of the elementary propositions.
The elementary proposition consists of names. Since we cannot give the number of names with dierent meanings, we cannot
give the composition of the elementary proposition.
5.551 Our fundamental principle is that every question which can be
decided at all by logic can be decided without further trouble.
(And if we get into a situation where we need to answer such
a problem by looking at the world, this shows that we are on a
fundamentally wrong track.)
5.552 The experience which we need to understand logic is not that
such and such is the case, but that something is; but that is no
experience.
Logic precedes every experiencethat something is so.
It is before the How, not before the What.
5.5521 And if this were not the case, how could we apply logic? We
could say: if there were a logic, even if there were no world, how
then could there be a logic, since there is a world?
5.553 Russell said that there were simple relations between dierent
numbers of things (individuals). But between what numbers?
And how should this be decidedby experience?
(There is no pre-eminent number.)
72
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.554 The enumeration of any special forms would be entirely arbitrary.
5.5541 It should be possible to decide a priori whether, for example, I
can get into a situation in which I need to symbolize with a sign
of a 27-termed relation.
5.5542 May we then ask this at all? Can we set out a sign form and
not know whether anything can correspond to it?
Has the question sense: what must be in order that something can be the case?
5.555 It is clear that we have a concept of the elementary proposition
apart from its special logical form.
Where, however, we can build symbols according to a system,
there this system is the logically important thing and not the
single symbols.
And how would it be possible that I should have to deal with
forms in logic which I can invent: but I must have to deal with
that which makes it possible for me to invent them.
5.556 There cannot be a hierarchy of the forms of the elementary propositions. Only that which we ourselves construct can we foresee.
5.5561 Empirical reality is limited by the totality of objects. The
boundary appears again in the totality of elementary propositions.
The hierarchies are and must be independent of reality.
5.5562 If we know on purely logical grounds, that there must be elementary propositions, then this must be known by everyone who
understands the propositions in their unanalysed form.
5.5563 All propositions of our colloquial language are actually, just as
they are, logically completely in order. That most simple thing
which we ought to give here is not a simile of truth but the
complete truth itself.
(Our problems are not abstract but perhaps the most concrete that there are.)
5.557 The application of logic decides what elementary propositions
there are.
What lies in the application logic cannot anticipate.
73
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
It is clear that logic may not collide with its application.
But logic must have contact with its application.
Therefore logic and its application may not overlap one another.
5.5571 If I cannot give elementary propositions a priori then it must
lead to obvious nonsense to try to give them.
5.6 The limits of my language mean the limits of my world.
5.61 Logic lls the world: the limits of the world are also its limits.
We cannot therefore say in logic: This and this there is in
the world, that there is not.
For that would apparently presuppose that we exclude certain possibilities, and this cannot be the case since otherwise
logic must get outside the limits of the world: that is, if it could
consider these limits from the other side also.
What we cannot think, that we cannot think: we cannot
therefore say what we cannot think.
5.62 This remark provides a key to the question, to what extent solipsism is a truth.
In fact what solipsism means, is quite correct, only it cannot
be said, but it shows itself.
That the world is my world, shows itself in the fact that the
limits of the language (the language which only I understand)
mean the limits of my world.
5.621 The world and life are one.
5.63 I am my world. (The microcosm.)
5.631 The thinking, presenting subject; there is no such thing.
If I wrote a book The world as I found it, I should also have
therein to report on my body and say which members obey my
will and which do not, etc. This then would be a method of
isolating the subject or rather of showing that in an important
sense there is no subject: that is to say, of it alone in this book
mention could not be made.
5.632 The subject does not belong to the world but it is a limit of the
world.
74
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
5.633 Where in the world is a metaphysical subject to be noted?
You say that this case is altogether like that of the eye and
the eld of sight. But you do not really see the eye.
And from nothing in the eld of sight can it be concluded
that it is seen from an eye.
5.6331 For the eld of sight has not a form like this:
5.634 This is connected with the fact that no part of our experience is
also a priori.
Everything we see could also be otherwise.
Everything we can describe at all could also be otherwise.
There is no order of things a priori.
5.64 Here we see that solipsism strictly carried out coincides with
pure realism. The I in solipsism shrinks to an extensionless
point and there remains the reality co-ordinated with it.
5.641 There is therefore really a sense in which in philosophy we can
talk of a non-psychological I.
The I occurs in philosophy through the fact that the world
is my world.
The philosophical I is not the man, not the human body or
the human soul of which psychology treats, but the metaphysical
subject, the limitnot a part of the world.
6 The general form of truth-function is: [p, ξ, N(ξ)].
This is the general form of proposition.
6.001 This says nothing else than that every proposition is the result of
successive applications of the operation N′
(ξ) to the elementary
propositions.
6.002 If we are given the general form of the way in which a proposition
is constructed, then thereby we are also given the general form of
the way in which by an operation out of one proposition another
can be created.
75
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.01 The general form of the operation Ω
′
(η) is therefore: [ξ, N(ξ)]′
(η)
(= [η, ξ, N(ξ)]).
This is the most general form of transition from one proposition to another.
6.02 And thus we come to numbers: I de ne
x = Ω0′x Def. and
Ω
′Ω
ν′x = Ων+1′x Def.
According, then, to these symbolic rules we write the series
x, Ω
′x, Ω
′Ω
′x, Ω
′Ω
′Ω
′x . . . . .
as: Ω
0′x, Ω
0+1′x, Ω
0+1+1′x, Ω
0+1+1+1′x . . . . .
Therefore I write in place of [x, ξ, Ω
′
ξ],
“[Ω0′x, Ω
ν′x, Ω
ν+1′x].
And I de ne:
0 + 1 = 1 Def.
0 + 1 + 1 = 2 Def.
0 + 1 + 1 + 1 = 3 Def.
and so on.
6.021 A number is the exponent of an operation.
6.022 The concept number is nothing else than that which is common
to all numbers, the general form of number.
The concept number is the variable number.
And the concept of equality of numbers is the general form
of all special equalities of numbers.
6.03 The general form of the cardinal number is: [0, ξ, ξ + 1].
6.031 The theory of classes is altogether super uous in mathematics.
This is connected with the fact that the generality which we
need in mathematics is not the accidental one.
6.1 The propositions of logic are tautologies.
76
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.11 The propositions of logic therefore say nothing. (They are the
analytical propositions.)
6.111 Theories which make a proposition of logic appear substantial
are always false. One could e.g. believe that the words true
and false signify two properties among other properties, and
then it would appear as a remarkable fact that every proposition possesses one of these properties. This now by no means
appears self-evident, no more so than the proposition All roses
are either yellow or red would sound even if it were true. Indeed
our proposition now gets quite the character of a proposition of
natural science and this is a certain symptom of its being falsely
understood.
6.112 The correct explanation of logical propositions must give them
a peculiar position among all propositions.
6.113 It is the characteristic mark of logical propositions that one can
perceive in the symbol alone that they are true; and this fact
contains in itself the whole philosophy of logic. And so also it is
one of the most important facts that the truth or falsehood of
non-logical propositions can not be recognized from the propositions alone.
6.12 The fact that the propositions of logic are tautologies shows the
formallogicalproperties of language, of the world.
That its constituent parts connected together in this way
give a tautology characterizes the logic of its constituent parts.
In order that propositions connected together in a de nite
way may give a tautology they must have de nite properties of
structure. That they give a tautology when so connected shows
therefore that they possess these properties of structure.
6.1201 That e.g. the propositions p and ∼p in the connexion ∼(p .
∼p) give a tautology shows that they contradict one another.
That the propositions p ⊃ q, p and q connected together
in the form (p ⊃ q) . (p) :⊃: (q) give a tautology shows that q
follows from p and p ⊃ q. That (x) . fx :⊃: f a is a tautology
shows that f a follows from (x) . fx, etc. etc.
6.1202 It is clear that we could have used for this purpose contradictions
instead of tautologies.
77
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.1203 In order to recognize a tautology as such, we can, in cases in
which no sign of generality occurs in the tautology, make use
of the following intuitive method: I write instead of p, q,
r, etc., T pF, T qF, T rF, etc. The truth-combinations I
express by brackets, e.g.:
and the co-ordination of the truth or falsity of the whole proposition with the truth-combinations of the truth-arguments by
lines in the following way:
This sign, for example, would therefore present the proposition p ⊃ q. Now I will proceed to inquire whether such a proposition as ∼(p . ∼p) (The Law of Contradiction) is a tautology.
The form ∼ξ is written in our notation
the form ξ . η thus:
78
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Hence the proposition ∼(p . ∼q) runs thus:
If here we put p instead of q and examine the combination
of the outermost T and F with the innermost, it is seen that
the truth of the whole proposition is co-ordinated with all the
truth-combinations of its argument, its falsity with none of the
truth-combinations.
6.121 The propositions of logic demonstrate the logical properties of
propositions, by combining them into propositions which say
nothing.
This method could be called a zero-method. In a logical
proposition propositions are brought into equilibrium with one
another, and the state of equilibrium then shows how these propositions must be logically constructed.
6.122 Whence it follows that we can get on without logical propositions, for we can recognize in an adequate notation the formal
properties of the propositions by mere inspection.
6.1221 If for example two propositions p and q give a tautology in
the connexion p ⊃ q, then it is clear that q follows from p.
E.g. that q follows from p ⊃ q . p we see from these two
propositions themselves, but we can also show it by combining
them to p ⊃ q.p :⊃: q and then showing that this is a tautology.
6.1222 This throws light on the question why logical propositions can
no more be empirically established than they can be empirically
refuted. Not only must a proposition of logic be incapable of
being contradicted by any possible experience, but it must also
be incapable of being established by any such.
6.1223 It now becomes clear why we often feel as though logical truths
79
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
must be postulated by us. We can in fact postulate them in so
far as we can postulate an adequate notation.
6.1224 It also becomes clear why logic has been called the theory of
forms and of inference.
6.123 It is clear that the laws of logic cannot themselves obey further
logical laws.
(There is not, as Russell supposed, for every type a special
law of contradiction; but one is su cient, since it is not applied
to itself.)
6.1231 The mark of logical propositions is not their general validity.
To be general is only to be accidentally valid for all things.
An ungeneralized proposition can be tautologous just as well as
a generalized one.
6.1232 Logical general validity, we could call essential as opposed to
accidental general validity, e.g. of the proposition all men are
mortal. Propositions like Russell's axiom of reducibility are
not logical propositions, and this explains our feeling that, if
true, they can only be true by a happy chance.
6.1233 We can imagine a world in which the axiom of reducibility is
not valid. But it is clear that logic has nothing to do with the
question whether our world is really of this kind or not.
6.124 The logical propositions describe the scaolding of the world,
or rather they present it. They treat of nothing. They presuppose that names have meaning, and that elementary propositions have sense. And this is their connexion with the world.
It is clear that it must show something about the world that
certain combinations of symbolswhich essentially have a definite characterare tautologies. Herein lies the decisive point.
We said that in the symbols which we use much is arbitrary,
much not. In logic only this expresses: but this means that in
logic it is not we who express, by means of signs, what we want,
but in logic the nature of the essentially necessary signs itself
asserts. That is to say, if we know the logical syntax of any sign
language, then all the propositions of logic are already given.
6.125 It is possible, even in the old logic, to give at the outset a description of all true logical propositions.
80
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.1251 Hence there can never be surprises in logic.
6.126 Whether a proposition belongs to logic can be determined by
determining the logical properties of the symbol.
And this we do when we prove a logical proposition. For
without troubling ourselves about a sense and a meaning, we
form the logical propositions out of others by mere symbolic
rules.
We prove a logical proposition by creating it out of other
logical propositions by applying in succession certain operations,
which again generate tautologies out of the rst. (And from a
tautology only tautologies follow.)
Naturally this way of showing that its propositions are tautologies is quite unessential to logic. Because the propositions,
from which the proof starts, must show without proof that they
are tautologies.
6.1261 In logic process and result are equivalent. (Therefore no surprises.)
6.1262 Proof in logic is only a mechanical expedient to facilitate the
recognition of tautology, where it is complicated.
6.1263 It would be too remarkable, if one could prove a signi cant proposition logically from another, and a logical proposition also. It
is clear from the beginning that the logical proof of a signi cant
proposition and the proof in logic must be two quite dierent
things.
6.1264 The signi cant proposition asserts something, and its proof
shows that it is so; in logic every proposition is the form of a
proof.
Every proposition of logic is a modus ponens presented in
signs. (And the modus ponens can not be expressed by a proposition.)
6.1265 Logic can always be conceived to be such that every proposition
is its own proof.
6.127 All propositions of logic are of equal rank; there are not some
which are essentially primitive and others deduced from these.
Every tautology itself shows that it is a tautology.
81
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.1271 It is clear that the number of primitive propositions of logic
is arbitrary, for we could deduce logic from one primitive proposition by simply forming, for example, the logical product of
Frege's primitive propositions. (Frege would perhaps say that
this would no longer be immediately self-evident. But it is remarkable that so exact a thinker as Frege should have appealed
to the degree of self-evidence as the criterion of a logical proposition.)
6.13 Logic is not a theory but a re exion of the world.
Logic is transcendental.
6.2 Mathematics is a logical method.
The propositions of mathematics are equations, and therefore pseudo-propositions.
6.21 Mathematical propositions express no thoughts.
6.211 In life it is never a mathematical proposition which we need,
but we use mathematical propositions only in order to infer
from propositions which do not belong to mathematics to others
which equally do not belong to mathematics.
(In philosophy the question Why do we really use that word,
that proposition? constantly leads to valuable results.)
6.22 The logic of the world which the propositions of logic show in
tautologies, mathematics shows in equations.
6.23 If two expressions are connected by the sign of equality, this
means that they can be substituted for one another. But
whether this is the case must show itself in the two expressions
themselves.
It characterizes the logical form of two expressions, that they
can be substituted for one another.
6.231 It is a property of a rmation that it can be conceived as double
denial.
It is a property of 1 + 1 + 1 + 1 that it can be conceived as
(1 + 1) + (1 + 1).
6.232 Frege says that these expressions have the same meaning but
dierent senses.
But what is essential about equation is that it is not neces82
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
sary in order to show that both expressions, which are connected
by the sign of equality, have the same meaning: for this can be
perceived from the two expressions themselves.
6.2321 And, that the propositions of mathematics can be proved means
nothing else than that their correctness can be seen without our
having to compare what they express with the facts as regards
correctness.
6.2322 The identity of the meaning of two expressions cannot be asserted. For in order to be able to assert anything about their
meaning, I must know their meaning, and if I know their meaning, I know whether they mean the same or something dierent.
6.2323 The equation characterizes only the standpoint from which I
consider the two expressions, that is to say the standpoint of
their equality of meaning.
6.233 To the question whether we need intuition for the solution of
mathematical problems it must be answered that language itself
here supplies the necessary intuition.
6.2331 The process of calculation brings about just this intuition.
Calculation is not an experiment.
6.234 Mathematics is a method of logic.
6.2341 The essential of mathematical method is working with equations. On this method depends the fact that every proposition
of mathematics must be self-intelligible.
6.24 The method by which mathematics arrives at its equations is
the method of substitution.
For equations express the substitutability of two expressions,
and we proceed from a number of equations to new equations,
replacing expressions by others in accordance with the equations.
6.241 Thus the proof of the proposition 2 × 2 = 4 runs:
(Ων
)
µ′x = Ων×µ′x Def.
Ω
2×2′x = (Ω2
)
2′x = (Ω2
)
1+1′x = Ω2′Ω
2′x = Ω1+1′Ω
1+1′x
= (Ω′Ω)′
(Ω′Ω)′x = Ω′Ω
′Ω
′Ω
′x = Ω1+1+1+1′x = Ω4′x.
6.3 Logical research means the investigation of all regularity. And
outside logic all is accident.
83
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.31 The so-called law of induction cannot in any case be a logical
law, for it is obviously a signi cant proposition.And therefore
it cannot be a law a priori either.
6.32 The law of causality is not a law but the form of a law.*
6.321 Law of Causality is a class name. And as in mechanics there
are, for instance, minimum-laws, such as that of least action, so
in physics there are causal laws, laws of the causality form.
6.3211 Men had indeed an idea that there must be a law of least action, before they knew exactly how it ran. (Here, as always,
the a priori certain proves to be something purely logical.)
6.33 We do not believe a priori in a law of conservation, but we know
a priori the possibility of a logical form.
6.34 All propositions, such as the law of causation, the law of continuity in nature, the law of least expenditure in nature, etc. etc., all
these are a priori intuitions of possible forms of the propositions
of science.
6.341 Newtonian mechanics, for example, brings the description of the
universe to a uni ed form. Let us imagine a white surface with
irregular black spots. We now say: Whatever kind of picture
these make I can always get as near as I like to its description,
if I cover the surface with a su ciently ne square network and
now say of every square that it is white or black. In this way
I shall have brought the description of the surface to a uni ed
form. This form is arbitrary, because I could have applied with
equal success a net with a triangular or hexagonal mesh. It can
happen that the description would have been simpler with the
aid of a triangular mesh; that is to say we might have described
the surface more accurately with a triangular, and coarser, than
with the ner square mesh, or vice versa, and so on. To the
dierent networks correspond dierent systems of describing the
world. Mechanics determine a form of description by saying: All
propositions in the description of the world must be obtained in a
given way from a number of given propositionsthe mechanical
axioms. It thus provides the bricks for building the edi ce of
science, and says: Whatever building thou wouldst erect, thou
*
I.e. not the form of one particular law, but of any law of a certain sort (B. R.).
84
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
shalt construct it in some manner with these bricks and these
alone.
(As with the system of numbers one must be able to write
down any arbitrary number, so with the system of mechanics one
must be able to write down any arbitrary physical proposition.)
6.342 And now we see the relative position of logic and mechanics.
(We could construct the network out of gures of dierent kinds,
as out of triangles and hexagons together.) That a picture like
that instanced above can be described by a network of a given
form asserts nothing about the picture. (For this holds of every
picture of this kind.) But this does characterize the picture, the
fact, namely, that it can be completely described by a de nite
net of de nite neness.
So too the fact that it can be described by Newtonian mechanics asserts nothing about the world; but this asserts something, namely, that it can be described in that particular way in
which it is described, as is indeed the case. The fact, too, that it
can be described more simply by one system of mechanics than
by another says something about the world.
6.343 Mechanics is an attempt to construct according to a single plan
all true propositions which we need for the description of the
world.
6.3431 Through the whole apparatus of logic the physical laws still
speak of the objects of the world.
6.3432 We must not forget that the description of the world by mechanics is always quite general. There is, for example, never any
mention of particular material points in it, but always only of
some points or other.
6.35 Although the spots in our picture are geometrical gures, geometry can obviously say nothing about their actual form and
position. But the network is purely geometrical, and all its properties can be given a priori.
Laws, like the law of causation, etc., treat of the network and
not of what the network described.
6.36 If there were a law of causality, it might run: There are natural
laws.
85
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
But that can clearly not be said: it shows itself.
6.361 In the terminology of Hertz we might say: Only uniform connexions are thinkable.
6.3611 We cannot compare any process with the passage of time
there is no such thingbut only with another process (say, with
the movement of the chronometer).
Hence the description of the temporal sequence of events is
only possible if we support ourselves on another process.
It is exactly analogous for space. When, for example, we say
that neither of two events (which mutually exclude one another)
can occur, because there is no cause why the one should occur
rather than the other, it is really a matter of our being unable
to describe one of the two events unless there is some sort of
asymmetry. And if there is such an asymmetry, we can regard
this as the cause of the occurrence of the one and of the nonoccurrence of the other.
6.36111 The Kantian problem of the right and left hand which cannot
be made to cover one another already exists in the plane, and
even in one-dimensional space; where the two congruent gures
a and b cannot be made to cover one another without moving
them out of this space. The right and left hand are in fact
completely congruent. And the fact that they cannot be made
to cover one another has nothing to do with it.
A right-hand glove could be put on a left hand if it could be
turned round in four-dimensional space.
6.362 What can be described can happen too, and what is excluded
by the law of causality cannot be described.
6.363 The process of induction is the process of assuming the simplest
law that can be made to harmonize with our experience.
6.3631 This process, however, has no logical foundation but only a psychological one.
It is clear that there are no grounds for believing that the
simplest course of events will really happen.
86
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
6.36311 That the sun will rise to-morrow, is an hypothesis; and that
means that we do not know whether it will rise.
6.37 A necessity for one thing to happen because another has happened does not exist. There is only logical necessity.
6.371 At the basis of the whole modern view of the world lies the
illusion that the so-called laws of nature are the explanations of
natural phenomena.
6.372 So people stop short at natural laws as at something unassailable, as did the ancients at God and Fate.
And they both are right and wrong. But the ancients were
clearer, in so far as they recognized one clear conclusion, whereas
in the modern system it should appear as though everything were
explained.
6.373 The world is independent of my will.
6.374 Even if everything we wished were to happen, this would only
be, so to speak, a favour of fate, for there is no logical connexion
between will and world, which would guarantee this, and the
assumed physical connexion itself we could not again will.
6.375 As there is only a logical necessity, so there is only a logical
impossibility.
6.3751 For two colours, e.g. to be at one place in the visual eld, is
impossible, logically impossible, for it is excluded by the logical
structure of colour.
Let us consider how this contradiction presents itself in physics. Somewhat as follows: That a particle cannot at the same
time have two velocities, i.e. that at the same time it cannot be
in two places, i.e. that particles in dierent places at the same
time cannot be identical.
(It is clear that the logical product of two elementary propositions can neither be a tautology nor a contradiction. The assertion that a point in the visual eld has two dierent colours
at the same time, is a contradiction.)
6.4 All propositions are of equal value.
6.41 The sense of the world must lie outside the world. In the world
everything is as it is and happens as it does happen. In it there
is no valueand if there were, it would be of no value.
87
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
If there is a value which is of value, it must lie outside all
happening and being-so. For all happening and being-so is accidental.
What makes it non-accidental cannot lie in the world, for
otherwise this would again be accidental.
It must lie outside the world.
6.42 Hence also there can be no ethical propositions.
Propositions cannot express anything higher.
6.421 It is clear that ethics cannot be expressed.
Ethics are transcendental.
(Ethics and æsthetics are one.)
6.422 The rst thought in setting up an ethical law of the form thou
shalt . . . is: And what if I do not do it. But it is clear that
ethics has nothing to do with punishment and reward in the
ordinary sense. This question as to the consequences of an action
must therefore be irrelevant. At least these consequences will not
be events. For there must be something right in that formulation
of the question. There must be some sort of ethical reward and
ethical punishment, but this must lie in the action itself.
(And this is clear also that the reward must be something
acceptable, and the punishment something unacceptable.)
6.423 Of the will as the bearer of the ethical we cannot speak.
And the will as a phenomenon is only of interest to psychology.
6.43 If good or bad willing changes the world, it can only change the
limits of the world, not the facts; not the things that can be
expressed in language.
In brief, the world must thereby become quite another. It
must so to speak wax or wane as a whole.
The world of the happy is quite another than that of the
unhappy.
6.431 As in death, too, the world does not change, but ceases.
6.4311 Death is not an event of life. Death is not lived through.
If by eternity is understood not endless temporal duration
but timelessness, then he lives eternally who lives in the present.
88
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
Our life is endless in the way that our visual eld is without
limit.
6.4312 The temporal immortality of the soul of man, that is to say, its
eternal survival also after death, is not only in no way guaranteed, but this assumption in the rst place will not do for us
what we always tried to make it do. Is a riddle solved by the
fact that I survive for ever? Is this eternal life not as enigmatic
as our present one? The solution of the riddle of life in space
and time lies outside space and time.
(It is not problems of natural science which have to be
solved.)
6.432 How the world is, is completely indierent for what is higher.
God does not reveal himself in the world.
6.4321 The facts all belong only to the task and not to its performance.
6.44 Not how the world is, is the mystical, but that it is.
6.45 The contemplation of the world sub specie aeterni is its contemplation as a limited whole.
The feeling of the world as a limited whole is the mystical
feeling.
6.5 For an answer which cannot be expressed the question too cannot be expressed.
The riddle does not exist.
If a question can be put at all, then it can also be answered.
6.51 Scepticism is not irrefutable, but palpably senseless, if it would
doubt where a question cannot be asked.
For doubt can only exist where there is a question; a question
only where there is an answer, and this only where something
can be said.
6.52 We feel that even if all possible scienti c questions be answered,
the problems of life have still not been touched at all. Of course
there is then no question left, and just this is the answer.
6.521 The solution of the problem of life is seen in the vanishing of
this problem.
(Is not this the reason why men to whom after long doubting
89
TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS
the sense of life became clear, could not then say wherein this
sense consisted?)
6.522 There is indeed the inexpressible. This shows itself; it is the
mystical.
6.53 The right method of philosophy would be this. To say nothing
except what can be said, i.e. the propositions of natural science,
i.e. something that has nothing to do with philosophy: and then
always, when someone else wished to say something metaphysical, to demonstrate to him that he had given no meaning to
certain signs in his propositions. This method would be unsatisfying to the otherhe would not have the feeling that we
were teaching him philosophybut it would be the only strictly
correct method.
6.54 My propositions are elucidatory in this way: he who understands
me nally recognizes them as senseless, when he has climbed out
through them, on them, over them. (He must so to speak throw
away the ladder, after he has climbed up on it.)
He must surmount these propositions; then he sees the world
rightly.
7 Whereof one cannot speak, thereof one must be silent.
90
Logisch-Philosophische Abhandlung
VORWORT
Dieses Buch wird vielleicht nur der verstehen, der die Gedanken, die
darin ausgedrückt sindoder doch ähnliche Gedankenschon selbst einmal gedacht hat.Es ist also kein Lehrbuch.Sein Zweck wäre erreicht,
wenn es Einem, der es mit Verständnis liest Vergnügen bereitete.
Das Buch behandelt die philosophischen Probleme und zeigtwie ich
glaubedass die Fragestellung dieser Probleme auf dem Missverständnis der Logik unserer Sprache beruht. Man könnte den ganzen Sinn des
Buches etwa in die Worte fassen: Was sich überhaupt sagen lässt, lässt
sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muss man
schweigen.
Das Buch will also dem Denken eine Grenze ziehen, oder vielmehr
nicht dem Denken, sondern dem Ausdruck der Gedanken: Denn um dem
Denken eine Grenze zu ziehen, müssten wir beide Seiten dieser Grenze
denken können (wir müssten also denken können, was sich nicht denken
lässt).
Die Grenze wird also nur in der Sprache gezogen werden können und
was jenseits der Grenze liegt, wird einfach Unsinn sein.
Wieweit meine Bestrebungen mit denen anderer Philosophen zusammenfallen, will ich nicht beurteilen. Ja, was ich hier geschrieben habe
macht im Einzelnen überhaupt nicht den Anspruch auf Neuheit; und
darum gebe ich auch keine Quellen an, weil es mir gleichgültig ist, ob das
was ich gedacht habe, vor mir schon ein anderer gedacht hat.
Nur das will ich erwähnen, dass ich den grossartigen Werken Freges
und den Arbeiten meines Freundes Herrn Bertrand Russell einen grossen
Teil der Anregung zu meinen Gedanken schulde.
Wenn diese Arbeit einen Wert hat, so besteht er in Zweierlei. Erstens
darin, dass in ihr Gedanken ausgedrückt sind, und dieser Wert wird umso
grösser sein, je besser die Gedanken ausgedrückt sind. Je mehr der Nagel
auf den Kopf getroen ist.Hier bin ich mir bewusst, weit hinter dem
Möglichen zurückgeblieben zu sein. Einfach darum, weil meine Kraft zur
91
Bewältigung der Aufgabe zu gering ist.Mögen andere kommen und es
besser machen.
Dagegen scheint mir die Wa h r h e i t der hier mitgeteilten Gedanken
unantastbar und de nitiv. Ich bin also der Meinung, die Probleme im
Wesentlichen endgültig gelöst zu haben. Und wenn ich mich hierin nicht
irre, so besteht nun der Wert dieser Arbeit zweitens darin, dass sie zeigt,
wie wenig damit getan ist, dass diese Probleme gelöst sind.
L. W.
Wien, 1918.
92
1 Die Welt ist alles, was der Fall ist.*
1.1 Die Welt ist die Gesamtheit der Tatsachen, nicht der Dinge.
1.11 Die Welt ist durch die Tatsachen bestimmt und dadurch, dass
es a l l e Tatsachen sind.
1.12 Denn, die Gesamtheit der Tatsachen bestimmt, was der Fall ist
und auch, was alles nicht der Fall ist.
1.13 Die Tatsachen im logischen Raum sind die Welt.
1.2 Die Welt zerfällt in Tatsachen.
1.21 Eines kann der Fall sein oder nicht der Fall sein und alles übrige
gleich bleiben.
2 Was der Fall ist, die Tatsache, ist das Bestehen von Sachverhalten.
2.01 Der Sachverhalt ist eine Verbindung von Gegenständen. (Sachen,
Dingen.)
2.011 Es ist dem Ding wesentlich, der Bestandteil eines Sachverhaltes
sein zu können.
2.012 In der Logik ist nichts zufällig: Wenn das Ding im Sachverhalt
vorkommen ka n n, so muss die Möglichkeit des Sachverhaltes
im Ding bereits präjudiziert sein.
2.0121 Es erschiene gleichsam als Zufall, wenn dem Ding, das allein für
sich bestehen könnte, nachträglich eine Sachlage passen würde.
Wenn die Dinge in Sachverhalten vorkommen können, so
muss dies schon in ihnen liegen.
*Die Decimalzahlen als Nummern der einzelnen Sätze deuten das logische Gewicht
der Sätze an, den Nachdruck, der auf ihnen in meiner Darstellung liegt. Die Sätze
n.1, n.2, n.3, etc., sind Bemerkungen zum Satze No. n; die Sätze n.m1, n.m2, etc.
Bemerkungen zum Satze No. n.m; und so weiter.
93
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
(Etwas Logisches kann nicht nur-möglich sein. Die Logik handelt von jeder Möglichkeit und alle Möglichkeiten sind ihre Tatsachen.)
Wie wir uns räumliche Gegenstände überhaupt nicht ausserhalb des Raumes, zeitliche nicht ausserhalb der Zeit denken
können, so können wir uns k e i n e n Gegenstand ausserhalb der
Möglichkeit seiner Verbindung mit anderen denken.
Wenn ich mir den Gegenstand im Verbande des Sachverhalts
denken kann, so kann ich ihn nicht ausserhalb der M ö g l i c h -
k e i t dieses Verbandes denken.
2.0122 Das Ding ist selbständig, insofern es in allen m ö g l i c h e n Sachlagen vorkommen kann, aber diese Form der Selbständigkeit ist
eine Form des Zusammenhangs mit dem Sachverhalt, eine Form
der Unselbständigkeit. (Es ist unmöglich, dass Worte in zwei
verschiedenen Weisen auftreten, allein und im Satz.)
2.0123 Wenn ich den Gegenstand kenne, so kenne ich auch sämtliche
Möglichkeiten seines Vorkommens in Sachverhalten.
(Jede solche Möglichkeit muss in der Natur des Gegenstandes
liegen.)
Es kann nicht nachträglich eine neue Möglichkeit gefunden
werden.
2.01231 Um einen Gegenstand zu kennen, muss ich zwar nicht seine
externenaber ich muss alle seine internen Eigenschaften kennen.
2.0124 Sind alle Gegenstände gegeben, so sind damit auch alle m ö g -
l i c h e n Sachverhalte gegeben.
2.013 Jedes Ding ist, gleichsam, in einem Raume möglicher Sachverhalte. Diesen Raum kann ich mir leer denken, nicht aber das
Ding ohne den Raum.
2.0131 Der räumliche Gegenstand muss im unendlichen Raume liegen.
(Der Raumpunkt ist eine Argumentstelle.)
Der Fleck im Gesichtsfeld muss zwar nicht rot sein, aber eine
Farbe muss er haben: er hat sozusagen den Farbenraum um sich.
Der Ton muss e i n e Höhe haben, der Gegenstand des Tastsinnes
e i n e Härte usw.
94
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
2.014 Die Gegenstände enthalten die Möglichkeit aller Sachlagen.
2.0141 Die Möglichkeit seines Vorkommens in Sachverhalten, ist die
Form des Gegenstandes.
2.02 Der Gegenstand ist einfach.
2.0201 Jede Aussage über Komplexe lässt sich in eine Aussage über
deren Bestandteile und in diejenigen Sätze zerlegen, welche die
Komplexe vollständig beschreiben.
2.021 Die Gegenstände bilden die Substanz der Welt. Darum können
sie nicht zusammengesetzt sein.
2.0211 Hätte die Welt keine Substanz, so würde, ob ein Satz Sinn hat,
davon abhängen, ob ein anderer Satz wahr ist.
2.0212 Es wäre dann unmöglich, ein Bild der Welt (wahr oder falsch)
zu entwerfen.
2.022 Es ist oenbar, dass auch eine von der wirklichen noch so verschieden gedachte Welt Etwaseine Formmit der wirklichen
gemein haben muss.
2.023 Diese feste Form besteht eben aus den Gegenständen.
2.0231 Die Substanz der Welt ka n n nur eine Form und keine materiellen Eigenschaften bestimmen. Denn diese werden erst durch die
Sätze dargestellterst durch die Kon guration der Gegenstände
gebildet.
2.0232 Beiläu g gesprochen: Die Gegenstände sind farblos.
2.0233 Zwei Gegenstände von der gleichen logischen Form sindabgesehen von ihren externen Eigenschaftenvon einander nur dadurch unterschieden, dass sie verschieden sind.
2.02331 Entweder ein Ding hat Eigenschaften, die kein anderes hat, dann
kann man es ohneweiteres durch eine Beschreibung aus den anderen herausheben, und darauf hinweisen; oder aber, es gibt
mehrere Dinge, die ihre sämtlichen Eigenschaften gemeinsam
haben, dann ist es überhaupt unmöglich auf eines von ihnen
zu zeigen.
Denn, ist das Ding durch nichts hervorgehoben, so kann ich
es nicht hervorheben, denn sonst ist es eben hervorgehoben.
95
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
2.024 Die Substanz ist das, was unabhängig von dem was der Fall ist,
besteht.
2.025 Sie ist Form und Inhalt.
2.0251 Raum, Zeit und Farbe (Färbigkeit) sind Formen der Gegenstände.
2.026 Nur wenn es Gegenstände gibt, kann es eine feste Form der Welt
geben.
2.027 Das Feste, das Bestehende und der Gegenstand sind Eins.
2.0271 Der Gegenstand ist das Feste, Bestehende; die Kon guration ist
das Wechselnde, Unbeständige.
2.0272 Die Kon guration der Gegenstände bildet den Sachverhalt.
2.03 Im Sachverhalt hängen die Gegenstände ineinander, wie die Glieder einer Kette.
2.031 Im Sachverhalt verhalten sich die Gegenstände in bestimmter
Art und Weise zueinander.
2.032 Die Art und Weise, wie die Gegenstände im Sachverhalt zusammenhängen, ist die Struktur des Sachverhaltes.
2.033 Die Form ist die Möglichkeit der Struktur.
2.034 Die Struktur der Tatsache besteht aus den Strukturen der Sachverhalte.
2.04 Die Gesamtheit der bestehenden Sachverhalte ist die Welt.
2.05 Die Gesamtheit der bestehenden Sachverhalte bestimmt auch,
welche Sachverhalte nicht bestehen.
2.06 Das Bestehen und Nichtbestehen von Sachverhalten ist die Wirklichkeit.
(Das Bestehen von Sachverhalten nennen wir auch eine positive, das Nichtbestehen eine negative Tatsache.)
2.061 Die Sachverhalte sind von einander unabhängig.
2.062 Aus dem Bestehen oder Nichtbestehen eines Sachverhaltes kann
nicht auf das Bestehen oder Nichtbestehen eines anderen geschlossen werden.
2.063 Die gesamte Wirklichkeit ist die Welt.
96
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
2.1 Wir machen uns Bilder der Tatsachen.
2.11 Das Bild stellt die Sachlage im logischen Raume, das Bestehen
und Nichtbestehen von Sachverhalten vor.
2.12 Das Bild ist ein Modell der Wirklichkeit.
2.13 Den Gegenständen entsprechen im Bilde die Elemente des Bildes.
2.131 Die Elemente des Bildes vertreten im Bild die Gegenstände.
2.14 Das Bild besteht darin, dass sich seine Elemente in bestimmter
Art und Weise zu einander verhalten.
2.141 Das Bild ist eine Tatsache.
2.15 Dass sich die Elemente des Bildes in bestimmter Art und Weise zu einander verhalten stellt vor, dass sich die Sachen so zu
einander verhalten.
Dieser Zusammenhang der Elemente des Bildes heisse seine
Struktur und ihre Möglichkeit seine Form der Abbildung.
2.151 Die Form der Abbildung ist die Möglichkeit, dass sich die Dinge
so zu einander verhalten, wie die Elemente des Bildes.
2.1511 Das Bild ist s o mit der Wirklichkeit verknüpft; es reicht bis zu
ihr.
2.1512 Es ist wie ein Massstab an die Wirklichkeit angelegt.
2.15121 Nur die äussersten Punkte der Teilstriche b e r ü h r e n den zu
messenden Gegenstand.
2.1513 Nach dieser Auassung gehört also zum Bilde auch noch die
abbildende Beziehung, die es zum Bild macht.
2.1514 Die abbildende Beziehung besteht aus den Zuordnungen der Elemente des Bildes und der Sachen.
2.1515 Diese Zuordnungen sind gleichsam die Fühler der Bildelemente,
mit denen das Bild die Wirklichkeit berührt.
2.16 Die Tatsache muss um Bild zu sein, etwas mit dem Abgebildeten
gemeinsam haben.
2.161 In Bild und Abgebildetem muss etwas identisch sein, damit das
eine überhaupt ein Bild des anderen sein kann.
97
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
2.17 Was das Bild mit der Wirklichkeit gemein haben muss, um sie
auf seine Art und Weiserichtig oder falschabbilden zu können, ist seine Form der Abbildung.
2.171 Das Bild kann jede Wirklichkeit abbilden, deren Form es hat.
Das räumliche Bild alles Räumliche, das farbige alles Farbige,
etc.
2.172 Seine Form der Abbildung aber, kann das Bild nicht abbilden;
es weist sie auf.
2.173 Das Bild stellt sein Objekt von ausserhalb dar (sein Standpunkt
ist seine Form der Darstellung), darum stellt das Bild sein Objekt richtig oder falsch dar.
2.174 Das Bild kann sich aber nicht ausserhalb seiner Form der Darstellung stellen.
2.18 Was jedes Bild, welcher Form immer, mit der Wirklichkeit gemein haben muss, um sie überhauptrichtig oder falschabbilden zu können, ist die logische Form, das ist, die Form der
Wirklichkeit.
2.181 Ist die Form der Abbildung die logische Form, so heisst das Bild
das logische Bild.
2.182 Jedes Bild ist a u c h ein logisches. (Dagegen ist z. B. nicht jedes
Bild ein räumliches.)
2.19 Das logische Bild kann die Welt abbilden.
2.2 Das Bild hat mit dem Abgebildeten die logische Form der Abbildung gemein.
2.201 Das Bild bildet die Wirklichkeit ab, indem es eine Möglichkeit
des Bestehens und Nichtbestehens von Sachverhalten darstellt.
2.202 Das Bild stellt eine mögliche Sachlage im logischen Raume dar.
2.203 Das Bild enthält die Möglichkeit der Sachlage, die es darstellt.
2.21 Das Bild stimmt mit der Wirklichkeit überein oder nicht; es ist
richtig oder unrichtig, wahr oder falsch.
2.22 Das Bild stellt dar, was es darstellt, unabhängig von seiner
Wahr- oder Falschheit, durch die Form der Abbildung.
2.221 Was das Bild darstellt, ist sein Sinn.
98
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
2.222 In der Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung seines Sinnes mit der Wirklichkeit, besteht seine Wahrheit oder Falschheit.
2.223 Um zu erkennen, ob das Bild wahr oder falsch ist, müssen wir
es mit der Wirklichkeit vergleichen.
2.224 Aus dem Bild allein ist nicht zu erkennen, ob es wahr oder falsch
ist.
2.225 Ein a priori wahres Bild gibt es nicht.
3 Das logische Bild der Tatsachen ist der Gedanke.
3.001 Ein Sachverhalt ist denkbar heisst: Wir können uns ein Bild
von ihm machen.
3.01 Die Gesamtheit der wahren Gedanken sind ein Bild der Welt.
3.02 Der Gedanke enthält die Möglichkeit der Sachlage die er denkt.
Was denkbar ist, ist auch möglich.
3.03 Wir können nichts Unlogisches denken, weil wir sonst unlogisch
denken müssten.
3.031 Man sagte einmal, dass Gott alles schaen könne, nur nichts,
was den logischen Gesetzen zuwider wäre.Wir könnten nämlich von einer unlogischen Welt nicht s a g e n, wie sie aussähe.
3.032 Etwas der Logik widersprechendes in der Sprache darstellen,
kann man ebensowenig, wie in der Geometrie eine den Gesetzen des Raumes widersprechende Figur durch ihre Koordinaten
darstellen; oder die Koordinaten eines Punktes angeben, welcher
nicht existiert.
3.0321 Wohl können wir einen Sachverhalt räumlich darstellen, welcher
den Gesetzen der Physik, aber keinen, der den Gesetzen der
Geometrie zuwiderliefe.
3.04 Ein a priori richtiger Gedanke wäre ein solcher, dessen Möglichkeit seine Wahrheit bedingte.
3.05 Nur so könnten wir a priori wissen, dass ein Gedanke wahr ist,
wenn aus dem Gedanken selbst (ohne Vergleichsobjekt) seine
Wahrheit zu erkennen wäre.
3.1 Im Satz drückt sich der Gedanke sinnlich wahrnehmbar aus.
3.11 Wir benützen das sinnlich wahrnehmbare Zeichen (Laut- oder
99
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
Schriftzeichen etc.) des Satzes als Projektion der möglichen
Sachlage.
Die Projektionsmethode ist das Denken des Satz-Sinnes.
3.12 Das Zeichen, durch welches wir den Gedanken ausdrücken, nenne
ich das Satzzeichen. Und der Satz ist das Satzzeichen in seiner
projektiven Beziehung zur Welt.
3.13 Zum Satz gehört alles, was zur Projektion gehört; aber nicht das
Projizierte.
Also die Möglichkeit des Projizierten, aber nicht dieses selbst.
Im Satz ist also sein Sinn noch nicht enthalten, wohl aber
die Möglichkeit ihn auszudrücken.
(Der Inhalt des Satzes heisst der Inhalt des sinnvollen Satzes.)
Im Satz ist die Form seines Sinnes enthalten, aber nicht dessen Inhalt.
3.14 Das Satzzeichen besteht darin, dass sich seine Elemente, die
Wörter, in ihm auf bestimmte Art und Weise zu einander verhalten.
Das Satzzeichen ist eine Tatsache.
3.141 Der Satz ist kein Wörtergemisch.(Wie das musikalische Thema kein Gemisch von Tönen.)
Der Satz ist artikuliert.
3.142 Nur Tatsachen können einen Sinn ausdrücken, eine Klasse von
Namen kann es nicht.
3.143 Dass das Satzzeichen eine Tatsache ist, wird durch die gewöhnliche Ausdrucksform der Schrift oder des Druckes verschleiert.
Denn im gedruckten Satz z. B. sieht das Satzzeichen nicht
wesentlich verschieden aus vom Wort.
(So war es möglich, dass Frege den Satz einen zusammengesetzten Namen nannte.)
3.1431 Sehr klar wird das Wesen des Satzzeichens, wenn wir es uns, statt
aus Schriftzeichen, aus räumlichen Gegenständen (etwa Tischen,
Stühlen, Büchern) zusammengesetzt denken.
Die gegenseitige räumliche Lage dieser Dinge drückt dann
den Sinn des Satzes aus.
100
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
3.1432 Nicht: Das komplexe Zeichen aRb sagt, dass a in der Beziehung R zu b steht, sondern: D a s s a in einer gewissen Beziehung zu b steht, sagt, d a s s aRb.
3.144 Sachlagen kann man beschreiben, nicht b e n e n n e n.
(Namen gleichen Punkten, Sätze Pfeilen, sie haben Sinn.)
3.2 Im Satze kann der Gedanke so ausgedrückt sein, dass den Gegenständen des Gedankens Elemente des Satzzeichens entsprechen.
3.201 Diese Elemente nenne ich einfache Zeichen und den Satz vollständig analysiert.
3.202 Die im Satze angewandten einfachen Zeichen heissen Namen.
3.203 Der Name bedeutet den Gegenstand. Der Gegenstand ist seine
Bedeutung. (A ist dasselbe Zeichen wie A.)
3.21 Der Kon guration der einfachen Zeichen im Satzzeichen entspricht die Kon guration der Gegenstände in der Sachlage.
3.22 Der Name vertritt im Satz den Gegenstand.
3.221 Die Gegenstände kann ich nur n e n n e n. Zeichen vertreten sie.
Ich kann nur vo n ihnen sprechen, s i e a u s s p r e c h e n kann
ich nicht. Ein Satz kann nur sagen, w i e ein Ding ist, nicht wa s
es ist.
3.23 Die Forderung der Möglichkeit der einfachen Zeichen ist die Forderung der Bestimmtheit des Sinnes.
3.24 Der Satz, welcher vom Komplex handelt, steht in interner Beziehung zum Satze, der von dessen Bestandteil handelt.
Der Komplex kann nur durch seine Beschreibung gegeben
sein, und diese wird stimmen oder nicht stimmen. Der Satz, in
welchem von einem Komplex die Rede ist, wird, wenn dieser
nicht existiert, nicht unsinnig, sondern einfach falsch sein.
Dass ein Satzelement einen Komplex bezeichnet, kann man
aus einer Unbestimmtheit in den Sätzen sehen, worin es vorkommt. Wir w i s s e n, durch diesen Satz ist noch nicht alles
bestimmt. (Die Allgemeinheitsbezeichnung e n t h ä l t ja ein Urbild.)
Die Zusammenfassung des Symbols eines Komplexes in ein
einfaches Symbol kann durch eine De nition ausgedrückt werden.
101
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
3.25 Es gibt eine und nur eine vollständige Analyse des Satzes.
3.251 Der Satz drückt auf bestimmte, klar angebbare Weise aus, was
er ausdrückt: Der Satz ist artikuliert.
3.26 Der Name ist durch keine De nition weiter zu zergliedern: er ist
ein Urzeichen.
3.261 Jedes de nierte Zeichen bezeichnet ü b e r jene Zeichen, durch
welche es de niert wurde; und die De nitionen weisen den Weg.
Zwei Zeichen, ein Urzeichen, und ein durch Urzeichen de-
niertes, können nicht auf dieselbe Art und Weise bezeichnen.
Namen ka n n man nicht durch De nitionen auseinanderlegen.
(Kein Zeichen, welches allein, selbständig eine Bedeutung hat.)
3.262 Was in den Zeichen nicht zum Ausdruck kommt, das zeigt ihre Anwendung. Was die Zeichen verschlucken, das spricht ihre
Anwendung aus.
3.263 Die Bedeutungen von Urzeichen können durch Erläuterungen
erklärt werden. Erläuterungen sind Sätze, welche die Urzeichen
enthalten. Sie können also nur verstanden werden, wenn die Bedeutungen dieser Zeichen bereits bekannt sind.
3.3 Nur der Satz hat Sinn; nur im Zusammenhange des Satzes hat
ein Name Bedeutung.
3.31 Jeden Teil des Satzes, der seinen Sinn charakterisiert, nenne ich
einen Ausdruck (ein Symbol).
(Der Satz selbst ist ein Ausdruck.)
Ausdruck ist alles, für den Sinn des Satzes wesentliche, was
Sätze miteinander gemein haben können.
Der Ausdruck kennzeichnet eine Form und einen Inhalt.
3.311 Der Ausdruck setzt die Formen aller Sätze voraus, in welchen
er vorkommen kann. Er ist das gemeinsame charakteristische
Merkmal einer Klasse von Sätzen.
3.312 Er wird also dargestellt durch die allgemeine Form der Sätze,
die er charakterisiert.
Und zwar wird in dieser Form der Ausdruck ko n s t a n t und
alles übrige va r i a b e l sein.
3.313 Der Ausdruck wird also durch eine Variable dargestellt, deren
Werte die Sätze sind, die den Ausdruck enthalten.
102
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
(Im Grenzfall wird die Variable zur Konstanten, der Ausdruck zum Satz.)
Ich nenne eine solche Variable Satzvariable.
3.314 Der Ausdruck hat nur im Satz Bedeutung. Jede Variable lässt
sich als Satzvariable auassen.
(Auch der variable Name.)
3.315 Verwandeln wir einen Bestandteil eines Satzes in eine Variable,
so gibt es eine Klasse von Sätzen, welche sämtlich Werte des
so entstandenen variablen Satzes sind. Diese Klasse hängt im
allgemeinen noch davon ab, was wir, nach willkürlicher Übereinkunft, mit Teilen jenes Satzes meinen. Verwandeln wir aber
alle jene Zeichen, deren Bedeutung willkürlich bestimmt wurde,
in Variable, so gibt es nun noch immer eine solche Klasse. Diese aber ist nun von keiner Übereinkunft abhängig, sondern nur
noch von der Natur des Satzes. Sie entspricht einer logischen
Formeinem logischen Urbild.
3.316 Welche Werte die Satzvariable annehmen darf, wird festgesetzt.
Die Festsetzung der Werte i s t die Variable.
3.317 Die Festsetzung der Werte der Satzvariablen ist die A n g a b e
d e r S ä t z e, deren gemeinsames Merkmal die Variable ist.
Die Festsetzung ist eine Beschreibung dieser Sätze.
Die Festsetzung wird also nur von Symbolen, nicht von deren
Bedeutung handeln.
Und n u r dies ist der Festsetzung wesentlich, d a s s s i e n u r
e i n e B e s c h r e i b u n g vo n S y m b o l e n i s t u n d n i c h t s
ü b e r d a s B e z e i c h n e t e a u s s a g t.
Wie die Beschreibung der Sätze geschieht, ist unwesentlich.
3.318 Den Satz fasse ichwie Frege und Russellals Funktion der in
ihm enthaltenen Ausdrücke auf.
3.32 Das Zeichen ist das sinnlich Wahrnehmbare am Symbol.
3.321 Zwei verschiedene Symbole können also das Zeichen (Schriftzeichen oder Lautzeichen etc.) miteinander gemein habensie
bezeichnen dann auf verschiedene Art und Weise.
3.322 Es kann nie das gemeinsame Merkmal zweier Gegenstände anzeigen, dass wir sie mit demselben Zeichen, aber durch zwei
103
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
verschiedene B e z e i c h n u n g s w e i s e n bezeichnen. Denn das
Zeichen ist ja willkürlich. Man könnte also auch zwei verschiedene Zeichen wählen, und wo bliebe dann das Gemeinsame in der
Bezeichnung.
3.323 In der Umgangssprache kommt es ungemein häu g vor, dass
dasselbe Wort auf verschiedene Art und Weise bezeichnetalso
verschiedenen Symbolen angehört, oder, dass zwei Wörter, die
auf verschiedene Art und Weise bezeichnen, äusserlich in der
gleichen Weise im Satze angewandt werden.
So erscheint das Wort ist als Kopula, als Gleichheitszeichen und als Ausdruck der Existenz; existieren als intransitives Zeitwort wie gehen; identisch als Eigenschaftswort; wir
reden von E t wa s, aber auch davon, dass e t wa s geschieht.
(Im Satze Grün ist grünwo das erste Wort ein Personenname, das letzte ein Eigenschaftswort isthaben diese Worte nicht einfach verschiedene Bedeutung, sondern es sind v e r -
s c h i e d e n e S y m b o l e.)
3.324 So entstehen leicht die fundamentalsten Verwechslungen (deren
die ganze Philosophie voll ist).
3.325 Um diesen Irrtümern zu entgehen, müssen wir eine Zeichensprache verwenden, welche sie ausschliesst, indem sie nicht das
gleiche Zeichen in verschiedenen Symbolen, und Zeichen, welche
auf verschiedene Art bezeichnen, nicht äusserlich auf die gleiche
Art verwendet. Eine Zeichensprache also, die der l o g i s c h e n
Grammatikder logischen Syntaxgehorcht.
(Die Begrisschrift Frege's und Russell's ist eine solche Sprache, die allerdings noch nicht alle Fehler ausschliesst.)
3.326 Um das Symbol am Zeichen zu erkennen, muss man auf den
sinnvollen Gebrauch achten.
3.327 Das Zeichen bestimmt erst mit seiner logisch-syntaktischen Verwendung zusammen eine logische Form.
3.328 Wird ein Zeichen n i c h t g e b r a u c h t, so ist es bedeutungslos.
Das ist der Sinn der Devise Occams.
(Wenn sich alles so verhält als hätte ein Zeichen Bedeutung,
dann hat es auch Bedeutung.)
104
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
3.33 In der logischen Syntax darf nie die Bedeutung eines Zeichens
eine Rolle spielen; sie muss sich aufstellen lassen, ohne dass dabei
von der B e d e u t u n g eines Zeichens die Rede wäre, sie darf n u r
die Beschreibung der Ausdrücke voraussetzen.
3.331 Von dieser Bemerkung sehen wir in Russell's Theory of types
hinüber: Der Irrtum Russell's zeigt sich darin, dass er bei der
Aufstellung der Zeichenregeln von der Bedeutung der Zeichen
reden musste.
3.332 Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann, (das ist die ganze
Theory of types).
3.333 Eine Funktion kann darum nicht ihr eigenes Argument sein, weil
das Funktionszeichen bereits das Urbild seines Arguments enthält und es sich nicht selbst enthalten kann.
Nehmen wir nämlich an, die Funktion F(fx) könnte ihr eigenes Argument sein; dann gäbe es also einen Satz: F(F(fx))
und in diesem müssen die äussere Funktion F und die innere
Funktion F verschiedene Bedeutungen haben, denn die innere
hat die Form ϕ(fx), die äussere, die Form ψ(ϕ(fx)). Gemeinsam ist den beiden Funktionen nur der Buchstabe F, der aber
allein nichts bezeichnet.
Dies wird sofort klar, wenn wir statt F(F(u)) schreiben
(∃ϕ) : F(ϕu) . ϕu = F u.
Hiermit erledigt sich Russell's Paradox.
3.334 Die Regeln der logischen Syntax müssen sich von selbst verstehen, wenn man nur weiss, wie ein jedes Zeichen bezeichnet.
3.34 Der Satz besitzt wesentliche und zufällige Züge.
Zufällig sind die Züge, die von der besonderen Art der Hervorbringung des Satzzeichens herrühren. Wesentlich diejenigen,
welche allein den Satz befähigen, seinen Sinn auszudrücken.
3.341 Das Wesentliche am Satz ist also das, was allen Sätzen, welche
den gleichen Sinn ausdrücken können, gemeinsam ist.
Und ebenso ist allgemein das Wesentliche am Symbol das,
was alle Symbole, die denselben Zweck erfüllen können, gemeinsam haben.
105
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
3.3411 Man könnte also sagen: Der eigentliche Name ist das, was alle
Symbole, die den Gegenstand bezeichnen, gemeinsam haben. Es
würde sich so successive ergeben, dass keinerlei Zusammensetzung für den Namen wesentlich ist.
3.342 An unseren Notationen ist zwar etwas willkürlich, aber d a s ist
nicht willkürlich: Dass, w e n n wir etwas willkürlich bestimmt
haben, dann etwas anderes der Fall sein muss. (Dies hängt von
dem We s e n der Notation ab.)
3.3421 Eine besondere Bezeichnungsweise mag unwichtig sein, aber
wichtig ist es immer, dass diese eine m ö g l i c h e Bezeichnungsweise ist. Und so verhält es sich in der Philosophie überhaupt:
Das Einzelne erweist sich immer wieder als unwichtig, aber die
Möglichkeit jedes Einzelnen gibt uns einen Aufschluss über das
Wesen der Welt.
3.343 De nitionen sind Regeln der Übersetzung von einer Sprache in
eine andere. Jede richtige Zeichensprache muss sich in jede andere nach solchen Regeln übersetzen lassen: D i e s ist, was sie
alle gemeinsam haben.
3.344 Das, was am Symbol bezeichnet, ist das Gemeinsame aller jener
Symbole, durch die das erste den Regeln der logischen Syntax
zufolge ersetzt werden kann.
3.3441 Man kann z. B. das Gemeinsame aller Notationen für die Wahrheitsfunktionen so ausdrücken: Es ist ihnen gemeinsam, dass sich
allez. B.durch die Notation von ∼p (nicht p) und p∨q
(p oder q) e r s e t z e n l a s s e n.
(Hiermit ist die Art und Weise gekennzeichnet, wie eine
spezielle mögliche Notation uns allgemeine Aufschlüsse geben
kann.)
3.3442 Das Zeichen des Komplexes löst sich auch bei der Analyse nicht
willkürlich auf, so dass etwa seine Au ösung in jedem Satzgefüge
eine andere wäre.
3.4 Der Satz bestimmt einen Ort im logischen Raum. Die Existenz
dieses logischen Ortes ist durch die Existenz der Bestandteile
allein verbürgt, durch die Existenz des sinnvollen Satzes.
3.41 Das Satzzeichen und die logischen Koordinaten: Das ist der logische Ort.
106
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
3.411 Der geometrische und der logische Ort stimmen darin überein,
dass beide die Möglichkeit einer Existenz sind.
3.42 Obwohl der Satz nur einen Ort des logischen Raumes bestimmen
darf, so muss doch durch ihn schon der ganze logische Raum
gegeben sein.
(Sonst würden durch die Verneinung, die logische Summe,
das logische Produkt, etc. immer neue Elementein Koordinationeingeführt.)
(Das logische Gerüst um das Bild herum bestimmt den logischen Raum. Der Satz durchgreift den ganzen logischen Raum.)
3.5 Das angewandte, gedachte, Satzzeichen ist der Gedanke.
4 Der Gedanke ist der sinnvolle Satz.
4.001 Die Gesamtheit der Sätze ist die Sprache.
4.002 Der Mensch besitzt die Fähigkeit Sprachen zu bauen, womit sich
jeder Sinn ausdrücken lässt, ohne eine Ahnung davon zu haben,
wie und was jedes Wort bedeutet.Wie man auch spricht, ohne
zu wissen, wie die einzelnen Laute hervorgebracht werden.
Die Umgangssprache ist ein Teil des menschlichen Organismus und nicht weniger kompliziert als dieser.
Es ist menschenunmöglich, die Sprachlogik aus ihr unmittelbar zu entnehmen.
Die Sprache verkleidet den Gedanken. Und zwar so, dass
man nach der äusseren Form des Kleides, nicht auf die Form des
bekleideten Gedankens schliessen kann; weil die äussere Form
des Kleides nach ganz anderen Zwecken gebildet ist, als danach,
die Form des Körpers erkennen zu lassen.
Die stillschweigenden Abmachungen zum Verständnis der
Umgangssprache sind enorm kompliziert.
4.003 Die meisten Sätze und Fragen, welche über philosophische Dinge geschrieben worden sind, sind nicht falsch, sondern unsinnig.
Wir können daher Fragen dieser Art überhaupt nicht beantworten, sondern nur ihre Unsinnigkeit feststellen. Die meisten Fragen und Sätze der Philosophen beruhen darauf, dass wir unsere
Sprachlogik nicht verstehen.
(Sie sind von der Art der Frage, ob das Gute mehr oder
weniger identisch sei als das Schöne.)
107
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
Und es ist nicht verwunderlich, dass die tiefsten Probleme
eigentlich k e i n e Probleme sind.
4.0031 Alle Philosophie ist Sprachkritik. (Allerdings nicht im Sinne
Mauthners.) Russell's Verdienst ist es, gezeigt zu haben, dass
die scheinbare logische Form des Satzes nicht seine wirkliche
sein muss.
4.01 Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit.
Der Satz ist ein Modell der Wirklichkeit, so wie wir sie uns
denken.
4.011 Auf den ersten Blick scheint der Satzwie er etwa auf dem
Papier gedruckt stehtkein Bild der Wirklichkeit zu sein, von
der er handelt. Aber auch die Notenschrift scheint auf den ersten Blick kein Bild der Musik zu sein, und unsere Lautzeichen-
(Buchstaben-)Schrift kein Bild unserer Lautsprache.
Und doch erweisen sich diese Zeichensprachen auch im gewöhnlichen Sinne als Bilder dessen, was sie darstellen.
4.012 Oenbar ist, dass wir einen Satz von der Form aRb als Bild
emp nden. Hier ist das Zeichen oenbar ein Gleichnis des Bezeichneten.
4.013 Und wenn wir in das Wesentliche dieser Bildhaftigkeit eindringen, so sehen wir, dass dieselbe durch s c h e i n b a r e U n r e -
g e l m ä s s i g k e i t e n (wie die Verwendung der ♯ und ♭ in der
Notenschrift) n i c h t gestört wird.
Denn auch diese Unregelmässigkeiten bilden das ab, was sie
ausdrücken sollen; nur auf eine andere Art und Weise.
4.014 Die Grammophonplatte, der musikalische Gedanke, die Notenschrift, die Schallwellen, stehen alle in jener abbildenden internen Beziehung zu einander, die zwischen Sprache und Welt besteht.
Ihnen allen ist der logische Bau gemeinsam.
(Wie im Märchen die zwei Jünglinge, ihre zwei Pferde und
ihre Lilien. Sie sind alle in gewissem Sinne Eins.)
4.0141 Dass es eine allgemeine Regel gibt, durch die der Musiker aus
der Partitur die Symphonie entnehmen kann, durch welche man
aus der Linie auf der Grammophonplatte die Symphonie und
108
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
nach der ersten Regel wieder die Partitur ableiten kann, darin besteht eben die innere Ähnlichkeit dieser scheinbar so ganz
verschiedenen Gebilde. Und jene Regel ist das Gesetz der Projektion, welches die Symphonie in die Notensprache projiziert.
Sie ist die Regel der Übersetzung der Notensprache in die Sprache der Grammophonplatte.
4.015 Die Möglichkeit aller Gleichnisse, der ganzen Bildhaftigkeit unserer Ausdrucksweise, ruht in der Logik der Abbildung.
4.016 Um das Wesen des Satzes zu verstehen, denken wir an die Hieroglyphenschrift, welche die Tatsachen die sie beschreibt abbildet.
Und aus ihr wurde die Buchstabenschrift, ohne das Wesentliche der Abbildung zu verlieren.
4.02 Dies sehen wir daraus, dass wir den Sinn des Satzzeichens verstehen, ohne dass er uns erklärt wurde.
4.021 Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit: Denn ich kenne die von
ihm dargestellte Sachlage, wenn ich den Satz verstehe. Und den
Satz verstehe ich, ohne dass mir sein Sinn erklärt wurde.
4.022 Der Satz z e i g t seinen Sinn.
Der Satz z e i g t, wie es sich verhält, w e n n er wahr ist. Und
er s a g t, d a s s es sich so verhält.
4.023 Die Wirklichkeit muss durch den Satz auf ja oder nein xiert
sein.
Dazu muss sie durch ihn vollständig beschrieben werden.
Der Satz ist die Beschreibung eines Sachverhaltes.
Wie die Beschreibung einen Gegenstand nach seinen externen Eigenschaften, so beschreibt der Satz die Wirklichkeit nach
ihren internen Eigenschaften.
Der Satz konstruiert eine Welt mit Hilfe eines logischen Gerüstes und darum kann man am Satz auch sehen, wie sich alles Logische verhält, w e n n er wahr ist. Man kann aus einem
falschen Satz S c h l ü s s e z i e h e n.
4.024 Einen Satz verstehen, heisst, wissen was der Fall ist, wenn er
wahr ist.
(Man kann ihn also verstehen, ohne zu wissen, ob er wahr
ist.)
109
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
Man versteht ihn, wenn man seine Bestandteile versteht.
4.025 Die Übersetzung einer Sprache in eine andere geht nicht so vor
sich, dass man jeden S a t z der einen in einen S a t z der anderen
übersetzt, sondern nur die Satzbestandteile werden übersetzt.
(Und das Wörterbuch übersetzt nicht nur Substantiva, sondern auch Zeit-, Eigenschafts- und Bindewörter etc.; und es behandelt sie alle gleich.)
4.026 Die Bedeutungen der einfachen Zeichen (der Wörter) müssen
uns erklärt werden, dass wir sie verstehen.
Mit den Sätzen aber verständigen wir uns.
4.027 Es liegt im Wesen des Satzes, dass er uns einen n e u e n Sinn
mitteilen kann.
4.03 Ein Satz muss mit alten Ausdrücken einen neuen Sinn mitteilen.
Der Satz teilt uns eine Sachlage mit, also muss er w e s e n t -
l i c h mit der Sachlage zusammenhängen.
Und der Zusammenhang ist eben, dass er ihr logisches Bild
ist.
Der Satz sagt nur insoweit etwas aus, als er ein Bild ist.
4.031 Im Satz wird gleichsam eine Sachlage probeweise zusammengestellt.
Man kann geradezu sagen: statt, dieser Satz hat diesen und
diesen Sinn; dieser Satz stellt diese und diese Sachlage dar.
4.0311 Ein Name steht für ein Ding, ein anderer für ein anderes Ding
und untereinander sind sie verbunden, so stellt das Ganzewie
ein lebendes Bildden Sachverhalt vor.
4.0312 Die Möglichkeit des Satzes beruht auf dem Prinzip der Vertretung von Gegenständen durch Zeichen.
Mein Grundgedanke ist, dass die logischen Konstanten
nicht vertreten. Dass sich die L o g i k der Tatsachen nicht vertreten lässt.
4.032 Nur insoweit ist der Satz ein Bild einer Sachlage, als er logisch
gegliedert ist.
(Auch der Satz ambulo ist zusammengesetzt, denn sein
Stamm ergibt mit einer anderen Endung und seine Endung mit
einem anderen Stamm, einen anderen Sinn.)
110
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
4.04 Am Satz muss gerade soviel zu unterscheiden sein, als an der
Sachlage die er darstellt.
Die beiden müssen die gleiche logische (mathematische)
Mannigfaltigkeit besitzen. (Vergleiche Hertz's Mechanik, über
Dynamische Modelle.)
4.041 Diese mathematische Mannigfaltigkeit kann man natürlich nicht
selbst wieder abbilden. Aus ihr kann man beim Abbilden nicht
heraus.
4.0411 Wollten wir z. B. das, was wir durch (x)fx ausdrücken, durch
Vorsetzen eines Indexes vor fx ausdrückenetwa so: Alg.
fx, es würde nicht genügenwir wüssten nicht, was verallgemeinert wurde. Wollten wir es durch einen Index a anzeigen
etwa so: f(xa)es würde auch nicht genügenwir wüssten
nicht den Bereich der Allgemeinheitsbezeichnung.
Wollten wir es durch Einführung einer Marke in die Argumentstellen versuchenetwa so: (A, A) . F(A, A)es würde
nicht genügenwir könnten die Identität der Variablen nicht
feststellen. U.s.w.
Alle diese Bezeichnungsweisen genügen nicht, weil sie nicht
die notwendige mathematische Mannigfaltigkeit haben.
4.0412 Aus demselben Grunde genügt die idealistische Erklärung des
Sehens der räumlichen Beziehungen durch die Raumbrille
nicht, weil sie nicht die Mannigfaltigkeit dieser Beziehungen
erklären kann.
4.05 Die Wirklichkeit wird mit dem Satz verglichen.
4.06 Nur dadurch kann der Satz wahr oder falsch sein, indem er ein
Bild der Wirklichkeit ist.
4.061 Beachtet man nicht, dass der Satz einen von den Tatsachen unabhängigen Sinn hat, so kann man leicht glauben, dass wahr und
falsch gleichberechtigte Beziehungen von Zeichen und Bezeichnetem sind.
Man könnte dann z. B. sagen, dass p auf die wahre Art
bezeichnet, was ∼p auf die falsche Art, etc.
4.062 Kann man sich nicht mit falschen Sätzen, wie bisher mit wahren,
verständigen? Solange man nur weiss, dass sie falsch gemeint
111
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
sind. Nein! Denn, wahr ist ein Satz, wenn es sich so verhält,
wie wir es durch ihn sagen; und wenn wir mit p ∼p meinen,
und es sich so verhält wie wir es meinen, so ist p in der neuen
Auassung wahr und nicht falsch.
4.0621 Dass aber die Zeichen p und ∼p das gleiche sagen kö n -
n e n, ist wichtig. Denn es zeigt, dass dem Zeichen ∼ in der
Wirklichkeit nichts entspricht.
Dass in einem Satz die Verneinung vorkommt, ist noch kein
Merkmal seines Sinnes (∼∼p = p).
Die Sätze p und ∼p haben entgegengesetzten Sinn, aber
es entspricht ihnen eine und dieselbe Wirklichkeit.
4.063 Ein Bild zur Erklärung des Wahrheitsbegries: Schwarzer Fleck
auf weissem Papier; die Form des Fleckes kann man beschreiben,
indem man für jeden Punkt der Fläche angibt, ob er weiss oder
schwarz ist. Der Tatsache, dass ein Punkt schwarz ist, entspricht
eine positiveder, dass ein Punkt weiss (nicht schwarz) ist, eine
negative Tatsache. Bezeichne ich einen Punkt der Fläche (einen
Frege'schen Wahrheitswert), so entspricht dies der Annahme, die
zur Beurteilung aufgestellt wird, etc. etc.
Um aber sagen zu können, ein Punkt sei schwarz oder weiss,
muss ich vorerst wissen, wann man einen Punkt schwarz und
wann man ihn weiss nennt; um sagen zu können: p ist wahr
(oder falsch), muss ich bestimmt haben, unter welchen Umständen ich p wahr nenne, und damit bestimme ich den Sinn des
Satzes.
Der Punkt an dem das Gleichnis hinkt ist nun der: Wir können auf einen Punkt des Papiers zeigen, auch ohne zu wissen, was
weiss und schwarz ist; einem Satz ohne Sinn aber entspricht gar
nichts, denn er bezeichnet kein Ding (Wahrheitswert) dessen Eigenschaften etwa falsch oder wahr hiessen; das Verbum eines
Satzes ist nicht ist wahr oder ist falschwie Frege glaubte,
sondern das, was wahr ist muss das Verbum schon enthalten.
4.064 Jeder Satz muss s c h o n einen Sinn haben; die Bejahung kann
ihn ihm nicht geben, denn sie bejaht ja gerade den Sinn. Und
dasselbe gilt von der Verneinung, etc.
4.0641 Man könnte sagen: Die Verneinung bezieht sich schon auf den
logischen Ort, den der verneinte Satz bestimmt.
112
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
Der verneinende Satz bestimmt einen a n d e r e n logischen
Ort als der verneinte.
Der verneinende Satz bestimmt einen logischen Ort mit Hilfe
des logischen Ortes des verneinten Satzes, indem er jenen ausserhalb diesem liegend beschreibt.
Dass man den verneinten Satz wieder verneinen kann, zeigt
schon, dass das, was verneint wird, schon ein Satz und nicht erst
die Vorbereitung zu einem Satze ist.
4.1 Der Satz stellt das Bestehen und Nichtbestehen der Sachverhalte
dar.
4.11 Die Gesamtheit der wahren Sätze ist die gesamte Naturwissenschaft (oder die Gesamtheit der Naturwissenschaften).
4.111 Die Philosophie ist keine der Naturwissenschaften.
(Das Wort Philosophie muss etwas bedeuten, was über oder
unter, aber nicht neben den Naturwissenschaften steht.)
4.112 Der Zweck der Philosophie ist die logische Klärung der Gedanken.
Die Philosophie ist keine Lehre, sondern eine Tätigkeit.
Ein philosophisches Werk besteht wesentlich aus Erläuterungen.
Das Resultat der Philosophie sind nicht philosophische Sätze, sondern das Klarwerden von Sätzen.
Die Philosophie soll die Gedanken, die sonst, gleichsam, trübe und verschwommen sind, klar machen und scharf abgrenzen.
4.1121 Die Psychologie ist der Philosophie nicht verwandter als irgend
eine andere Naturwissenschaft.
Erkenntnistheorie ist die Philosophie der Psychologie.
Entspricht nicht mein Studium der Zeichensprache dem Studium der Denkprozesse, welches die Philosophen für die Philosophie der Logik für so wesentlich hielten? Nur verwickelten sie
sich meistens in unwesentliche psychologische Untersuchungen
und eine analoge Gefahr gibt es auch bei meiner Methode.
4.1122 Die Darwinsche Theorie hat mit der Philosophie nicht mehr
zu schaen, als irgend eine andere Hypothese der Naturwissenschaft.
113
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
4.113 Die Philosophie begrenzt das bestreitbare Gebiet der Naturwissenschaft.
4.114 Sie soll das Denkbare abgrenzen und damit das Undenkbare.
Sie soll das Undenkbare von innen durch das Denkbare begrenzen.
4.115 Sie wird das Unsagbare bedeuten, indem sie das Sagbare klar
darstellt.
4.116 Alles was überhaupt gedacht werden kann, kann klar gedacht
werden. Alles was sich aussprechen lässt, lässt sich klar aussprechen.
4.12 Der Satz kann die gesamte Wirklichkeit darstellen, aber er kann
nicht das darstellen, was er mit der Wirklichkeit gemein haben
muss, um sie darstellen zu könnendie logische Form.
Um die logische Form darstellen zu können, müssten wir uns
mit dem Satze ausserhalb der Logik aufstellen können, das heisst
ausserhalb der Welt.
4.121 Der Satz kann die logische Form nicht darstellen, sie spiegelt
sich in ihm.
Was sich in der Sprache spiegelt, kann sie nicht darstellen.
Was s i c h in der Sprache ausdrückt, können w i r nicht durch
sie ausdrücken.
Der Satz z e i g t die logische Form der Wirklichkeit.
Er weist sie auf.
4.1211 So zeigt ein Satz f a, dass in seinem Sinn der Gegenstand a
vorkommt, zwei Sätze f a und ga, dass in ihnen beiden von
demselben Gegenstand die Rede ist.
Wenn zwei Sätze einander widersprechen, so zeigt dies ihre
Struktur; ebenso, wenn einer aus dem anderen folgt. U.s.w.
4.1212 Was gezeigt werden ka n n, ka n n nicht gesagt werden.
4.1213 Jetzt verstehen wir auch unser Gefühl: dass wir im Besitze einer
richtigen logischen Auassung seien, wenn nur einmal alles in
unserer Zeichensprache stimmt.
4.122 Wir können in gewissem Sinne von formalen Eigenschaften der
Gegenstände und Sachverhalte bezw. von Eigenschaften der
114
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
Struktur der Tatsachen reden und in demselben Sinne von formalen Relationen und Relationen von Strukturen.
(Statt Eigenschaft der Struktur sage ich auch interne Eigenschaft; statt Relation der Strukturen interne Relation.
Ich führe diese Ausdrücke ein, um den Grund der, bei den
Philosophen sehr verbreiteten Verwechslung zwischen den internen Relationen und den eigentlichen (externen) Relationen zu
zeigen.)
Das Bestehen solcher interner Eigenschaften und Relationen
kann aber nicht durch Sätze behauptet werden, sondern es zeigt
sich in den Sätzen, welche jene Sachverhalte darstellen und von
jenen Gegenständen handeln.
4.1221 Eine interne Eigenschaft einer Tatsache können wir auch einen
Zug dieser Tatsache nennen. (In dem Sinn, in welchem wir etwa
von Gesichtszügen sprechen.)
4.123 Eine Eigenschaft ist intern, wenn es undenkbar ist, dass ihr Gegenstand sie nicht besitzt.
(Diese blaue Farbe und jene stehen in der internen Relation
von heller und dunkler eo ipso. Es ist undenkbar, dass d i e s e
beiden Gegenstände nicht in dieser Relation stünden.)
(Hier entspricht dem schwankenden Gebrauch der Worte Eigenschaft und Relation der schwankende Gebrauch des Wortes Gegenstand.)
4.124 Das Bestehen einer internen Eigenschaft einer möglichen Sachlage wird nicht durch einen Satz ausgedrückt, sondern es drückt
sich in dem sie darstellenden Satz, durch eine interne Eigenschaft
dieses Satzes aus.
Es wäre ebenso unsinnig, dem Satze eine formale Eigenschaft
zuzusprechen, als sie ihm abzusprechen.
4.1241 Formen kann man nicht dadurch von einander unterscheiden,
dass man sagt, die eine habe diese, die andere aber jene Eigenschaft; denn dies setzt voraus, dass es einen Sinn habe, beide
Eigenschaften von beiden Formen auszusagen.
4.125 Das Bestehen einer internen Relation zwischen möglichen Sachlagen drückt sich sprachlich durch eine interne Relation zwischen
den sie darstellenden Sätzen aus.
115
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
4.1251 Hier erledigt sich nun die Streitfrage ob alle Relationen intern
oder extern seien.
4.1252 Reihen, welche durch i n t e r n e Relationen geordnet sind, nenne
ich Formenreihen.
Die Zahlenreihe ist nicht nach einer externen, sondern nach
einer internen Relation geordnet.
Ebenso die Reihe der Sätze aRb, (∃x) : aRx . xRb,
(∃x, y) : aRx . xRy . yRb, u. s. f.
(Steht b in einer dieser Beziehungen zu a, so nenne ich b einen
Nachfolger von a.)
4.126 In dem Sinne, in welchem wir von formalen Eigenschaften sprechen, können wir nun auch von formalen Begrien reden.
(Ich führe diesen Ausdruck ein, um den Grund der Verwechslung der formalen Begrie mit den eigentlichen Begrien, welche
die ganze alte Logik durchzieht, klar zu machen.)
Dass etwas unter einen formalen Begri als dessen Gegenstand fällt, kann nicht durch einen Satz ausgedrückt werden.
Sondern es zeigt sich an dem Zeichen dieses Gegenstandes selbst.
(Der Name zeigt, dass er einen Gegenstand bezeichnet, das Zahlenzeichen, dass es eine Zahl bezeichnet etc.)
Die formalen Begrie können ja nicht, wie die eigentlichen
Begrie, durch eine Funktion dargestellt werden.
Denn ihre Merkmale, die formalen Eigenschaften, werden
nicht durch Funktionen ausgedrückt.
Der Ausdruck der formalen Eigenschaft ist ein Zug gewisser
Symbole.
Das Zeichen der Merkmale eines formalen Begries ist also ein charakteristischer Zug aller Symbole, deren Bedeutungen
unter den Begri fallen.
Der Ausdruck des formalen Begries also, eine Satzvariable,
in welcher nur dieser charakteristische Zug konstant ist.
4.127 Die Satzvariable bezeichnet den formalen Begri und ihre Werte
die Gegenstände, welche unter diesen Begri fallen.
4.1271 Jede Variable ist das Zeichen eines formalen Begries.
Denn jede Variable stellt eine konstante Form dar, welche
116
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
alle ihre Werte besitzen, und die als formale Eigenschaft dieser
Werte aufgefasst werden kann.
4.1272 So ist der variable Name x das eigentliche Zeichen des Scheinbegries G e g e n s t a n d.
Wo immer das Wort Gegenstand (Ding, Sache, etc.)
richtig gebraucht wird, wird es in der Begrisschrift durch den
variablen Namen ausgedrückt.
Zum Beispiel in dem Satz es gibt 2 Gegenstände, welche
. . . durch (∃x, y) . . ..
Wo immer es anders, also als eigentliches Begriswort gebraucht wird, entstehen unsinnige Scheinsätze.
So kann man z. B. nicht sagen Es gibt Gegenstände, wie
man etwa sagt Es gibt Bücher. Und ebenso wenig Es gibt 100
Gegenstände, oder Es gibt ℵ0 Gegenstände.
Und es ist unsinnig, von der A n z a h l a l l e r G e g e n s t ä n -
d e zu sprechen.
Dasselbe gilt von den Worten Komplex, Tatsache, Funktion, Zahl, etc.
Sie alle bezeichnen formale Begrie und werden in der Begrisschrift durch Variable, nicht durch Funktionen oder Klassen
dargestellt. (Wie Frege und Russell glaubten.)
Ausdrücke wie 1 ist eine Zahl, es gibt nur Eine Null und
alle ähnlichen sind unsinnig.
(Es ist ebenso unsinnig zu sagen es gibt nur eine 1, als es
unsinnig wäre, zu sagen: 2 + 2 ist um 3 Uhr gleich 4.)
4.12721 Der formale Begri ist mit einem Gegenstand, der unter ihn fällt,
bereits gegeben. Man kann also nicht Gegenstände eines formalen Begries u n d den formalen Begri selbst als Grundbegrie
einführen. Man kann also z. B. nicht den Begri der Funktion,
und auch spezielle Funktionen (wie Russell) als Grundbegrie
einführen; oder den Begri der Zahl und bestimmte Zahlen.
4.1273 Wollen wir den allgemeinen Satz: b ist ein Nachfolger von a
in der Begrisschrift ausdrücken, so brauchen wir hierzu einen
Ausdruck für das allgemeine Glied der Formenreihe: aRb, (∃x) :
aRx.xRb, (∃x, y) : aRx.xRy.yRb, . . . Das allgemeine Glied einer
Formenreihe kann man nur durch eine Variable ausdrücken, denn
117
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
der Begri: Glied dieser Formenreihe, ist ein f o r m a l e r Begri.
(Dies haben Frege und Russell übersehen; die Art und Weise wie
sie allgemeine Sätze, wie den obigen ausdrücken wollen ist daher
falsch; sie enthält einen circulus vitiosus.)
Wir können das allgemeine Glied der Formenreihe bestimmen, indem wir ihr erstes Glied angeben und die allgemeine
Form der Operation, welche das folgende Glied aus dem vorhergehenden Satz erzeugt.
4.1274 Die Frage nach der Existenz eines formalen Begries ist unsinnig.
Denn kein Satz kann eine solche Frage beantworten.
(Man kann also z. B. nicht fragen: Gibt es unanalysierbare
Subjekt-Prädikatsätze?)
4.128 Die logischen Formen sind zahl l o s.
Darum gibt es in der Logik keine ausgezeichneten Zahlen und
darum gibt es keinen philosophischen Monismus oder Dualismus,
etc.
4.2 Der Sinn des Satzes ist seine Übereinstimmung, und Nichtübereinstimmung mit den Möglichkeiten des Bestehens und Nichtbestehens der Sachverhalte.
4.21 Der einfachste Satz, der Elementarsatz, behauptet das Bestehen
eines Sachverhaltes.
4.211 Ein Zeichen des Elementarsatzes ist es, dass kein Elementarsatz
mit ihm in Widerspruch stehen kann.
4.22 Der Elementarsatz besteht aus Namen. Er ist ein Zusammenhang, eine Verkettung, von Namen.
4.221 Es ist oenbar, dass wir bei der Analyse der Sätze auf Elementarsätze kommen müssen, die aus Namen in unmittelbarer Verbindung bestehen.
Es frägt sich hier, wie kommt der Satzverband zustande.
4.2211 Auch wenn die Welt unendlich komplex ist, so dass jede Tatsache
aus unendlich vielen Sachverhalten besteht und jeder Sachverhalt aus unendlich vielen Gegenständen zusammengesetzt ist,
auch dann müsste es Gegenstände und Sachverhalte geben.
4.23 Der Name kommt im Satz nur im Zusammenhange des Elementarsatzes vor.
118
LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG
4.24 Die Namen sind die einfachen Symbole, ich deute sie durch einzelne Buchstaben (x, y, z) an.
Den Elementarsatz schreibe ich als Funktion der Namen in
der Form: fx, ϕ(x, y), etc.
Oder ich deute ihn durch die Buchstaben p, q, r an.
4.241 Gebrauche ich zwei Zeichen in ein und derselben Bedeutung, so
drücke ich dies aus, indem ich zwischen beide das Zeichen =
setze.
a = b heisst also: das Zeichen a ist durch das Zeichen b
ersetzbar.
(Führe ich durch eine Gleichung ein neues Zeichen b ein,
indem ich bestimme, es solle ein bereits bekanntes Zeichen a ersetzen, so schreibe ich die GleichungDe nition(wie Russell)
in der Form a = b Def.. Die De nition ist eine Zeichenregel.)
4.242 Ausdrücke von der Form a = b sind also nur Behelfe der Darstellung; sie sagen nichts über die Bedeutung der Zeichen a,
b aus.
4.243 Können wir zwei Namen verstehen, ohne zu wissen, ob sie dasselbe Ding oder zwei verschiedene Dinge bezeichnen?Können
wir einen Satz, worin zwei Namen vorkommen, verstehen, ohne
zu wissen, ob sie Dasselbe oder Verschiedenes bedeuten?
Kenne ich etwa die Bedeutung eines englischen und eines
gleichbedeutenden deutschen Wortes, so ist es unmöglich, dass
ich nicht weiss, dass die beiden gleichbedeutend sind; es ist unmöglich, dass ich sie nicht ineinander übersetzen kann.
Ausdrücke wie a = a, oder von diesen abgeleitete, sind
weder Elementarsätze, noch sonst sinnvolle Zeichen. (Dies wird
sich später zeigen.)
4.25 Ist der Elementarsatz wahr, so besteht der Sachverhalt; ist der
Elementarsatz falsch, so besteht der Sachverhalt nicht.
4.26 Die Angabe aller wahren Elementarsätze beschreibt die Welt
vollständig. Die Welt ist vollständig beschrieben durch die Angaben aller Elementarsätze plus der Angabe, welche von ihnen
wahr und welche falsch sind.
4.27 Bezüglich des Bestehens und Nichtbestehens von n Sachverhalten gibt es Kn =
Pn
ν=0
n ν Möglichkeiten. 11 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG Es können alle Kombinationen der Sachverhalte bestehen, die andern nicht bestehen. 4.28 Diesen Kombinationen entsprechen ebenso viele Möglichkeiten der Wahrheitund Falschheitvon n Elementarsätzen. 4.3 Die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze bedeuten die Möglichkeiten des Bestehens und Nichtbestehens der Sachverhalte. 4.31 Die Wahrheitsmöglichkeiten können wir durch Schemata folgender Art darstellen (W bedeutet wahr, F, falsch. Die Reihen der W und F unter der Reihe der Elementarsätze bedeuten in leichtverständlicher Symbolik deren Wahrheitsmöglichkeiten): p q r W W W F W W W F W W W F F F W F W F W F F F F F p q W W F W W F F F p W F 4.4 Der Satz ist der Ausdruck der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung mit den Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze. 4.41 Die Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze sind die Bedingungen der Wahrheit und Falschheit der Sätze. 4.411 Es ist von vornherein wahrscheinlich, dass die Einführung der Elementarsätze für das Verständnis aller anderen Satzarten grundlegend ist. Ja, das Verständnis der allgemeinen Sätze hängt f ü h l b a r von dem der Elementarsätze ab. 4.42 Bezüglich der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung eines Satzes mit den Wahrheitsmöglichkeiten von n Elementarsätzen gibt es P Kn κ=0 Kn κ = Ln Möglichkeiten. 12 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG 4.43 Die Übereinstimmung mit den Wahrheitsmöglichkeiten können wir dadurch ausdrücken, indem wir ihnen im Schema etwa das Abzeichen W (wahr) zuordnen. Das Fehlen dieses Abzeichens bedeutet die Nichtübereinstimmung. 4.431 Der Ausdruck der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung mit den Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze drückt die Wahrheitsbedingungen des Satzes aus. Der Satz ist der Ausdruck seiner Wahrheitsbedingungen. (Frege hat sie daher ganz richtig als Erklärung der Zeichen seiner Begrisschrift vorausgeschickt. Nur ist die Erklärung des Wahrheitsbegries bei Frege falsch: Wären das Wahre und das Falsche wirklich Gegenstände und die Argumente in ∼p etc. dann wäre nach Frege's Bestimmung der Sinn von ∼p keineswegs bestimmt.) 4.44 Das Zeichen, welches durch die Zuordnung jener Abzeichen W und der Wahrheitsmöglichkeiten entsteht, ist ein Satzzeichen. 4.441 Es ist klar, dass dem Komplex der Zeichen F und W kein Gegenstand (oder Komplex von Gegenständen) entspricht; so wenig, wie den horizontalen und vertikalen Strichen oder den Klammern.Logische Gegenstände gibt es nicht. Analoges gilt natürlich für alle Zeichen, die dasselbe ausdrücken wie die Schemata der W und F. 4.442 Es ist z. B.: p q W W W F W W W F F F W ein Satzzeichen. (Frege's Urteilsstrich ⊢ ist logisch ganz bedeutungslos; er zeigt bei Frege (und Russell) nur an, dass diese Autoren die so bezeichneten Sätze für wahr halten. ⊢ gehört daher ebenso wenig zum Satzgefüge, wie etwa die Nummer des Satzes. Ein Satz kann unmöglich von sich selbst aussagen, dass er wahr ist.) Ist die Reihenfolge der Wahrheitsmöglichkeiten im Schema 121 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG durch eine Kombinationsregel ein für allemal festgesetzt, dann ist die letzte Kolonne allein schon ein Ausdruck der Wahrheitsbedingungen. Schreiben wir diese Kolonne als Reihe hin, so wird das Satzzeichen zu: (WWW)(p, q) oder deutlicher (WWFW)(p, q). (Die Anzahl der Stellen in der linken Klammer ist durch die Anzahl der Glieder in der rechten bestimmt.) 4.45 Für n Elementarsätze gibt es Ln mögliche Gruppen von Wahrheitsbedingungen. Die Gruppen von Wahrheitsbedingungen, welche zu den Wahrheitsmöglichkeiten einer Anzahl von Elementarsätzen gehören, lassen sich in eine Reihe ordnen. 4.46 Unter den möglichen Gruppen von Wahrheitsbedingungen gibt es zwei extreme Fälle. In dem einen Fall ist der Satz für sämtliche Wahrheitsmöglichkeiten der Elementarsätze wahr. Wir sagen, die Wahrheitsbedingungen sind t a u t o l o g i s c h. Im zweiten Fall ist der Satz für sämtliche Wahrheitsmöglichkeiten falsch: Die Wahrheitsbedingungen sind ko n t r a d i k t o - r i s c h. Im ersten Fall nennen wir den Satz eine Tautologie, im zweiten Fall eine Kontradiktion. 4.461 Der Satz zeigt was er sagt, die Tautologie und die Kontradiktion, dass sie nichts sagen. Die Tautologie hat keine Wahrheitsbedingungen, denn sie ist bedingungslos wahr; und die Kontradiktion ist unter keiner Bedingung wahr. Tautologie und Kontradiktion sind sinnlos. (Wie der Punkt von dem zwei Pfeile in entgegengesetzter Richtung auseinandergehen.) (Ich weiss z. B. nichts über das Wetter, wenn ich weiss, dass es regnet oder nicht regnet.) 4.4611 Tautologie und Kontradiktion sind aber nicht unsinnig; sie gehören zum Symbolismus, und zwar ähnlich wie die 0 zum Symbolismus der Arithmetik. 122 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG 4.462 Tautologie und Kontradiktion sind nicht Bilder der Wirklichkeit. Sie stellen keine mögliche Sachlage dar. Denn jene lässt j e d e mögliche Sachlage zu, diese k e i n e. In der Tautologie heben die Bedingungen der Übereinstimmung mit der Weltdie darstellenden Beziehungeneinander auf, so dass sie in keiner darstellenden Beziehung zur Wirklichkeit steht. 4.463 Die Wahrheitsbedingungen bestimmen den Spielraum, der den Tatsachen durch den Satz gelassen wird. (Der Satz, das Bild, das Modell, sind im negativen Sinne wie ein fester Körper, der die Bewegungsfreiheit der anderen beschränkt; im positiven Sinne, wie der von fester Substanz begrenzte Raum, worin ein Körper Platz hat.) Die Tautologie lässt der Wirklichkeit den ganzenunendlichenlogischen Raum; die Kontradiktion erfüllt den ganzen logischen Raum und lässt der Wirklichkeit keinen Punkt. Keine von beiden kann daher die Wirklichkeit irgendwie bestimmen. 4.464 Die Wahrheit der Tautologie ist gewiss, des Satzes möglich, der Kontradiktion unmöglich. (Gewiss, möglich, unmöglich: Hier haben wir das Anzeichen jener Gradation, die wir in der Wahrscheinlichkeitslehre brauchen.) 4.465 Das logische Produkt einer Tautologie und eines Satzes sagt dasselbe, wie der Satz. Also ist jenes Produkt identisch mit dem Satz. Denn man kann das Wesentliche des Symbols nicht ändern, ohne seinen Sinn zu ändern. 4.466 Einer bestimmten logischen Verbindung von Zeichen entspricht eine bestimmte logische Verbindung ihrer Bedeutungen; j e d e b e l i e b i g e Verbindung entspricht nur den unverbundenen Zeichen. Das heisst, Sätze die für jede Sachlage wahr sind, können überhaupt keine Zeichenverbindungen sein, denn sonst könnten ihnen nur bestimmte Verbindungen von Gegenständen entsprechen. (Und keiner logischen Verbindung entspricht k e i n e Verbindung der Gegenstände.) 123 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG Tautologie und Kontradiktion sind die Grenzfälle der Zeichenverbindung, nämlich ihre Au ösung. 4.4661 Freilich sind auch in der Tautologie und Kontradiktion die Zeichen noch mit einander verbunden, d. h. sie stehen in Beziehungen zu einander, aber diese Beziehungen sind bedeutungslos, dem S y m b o l unwesentlich. 4.5 Nun scheint es möglich zu sein, die allgemeinste Satzform anzugeben: das heisst, eine Beschreibung der Sätze i r g e n d e i n e r Zeichensprache zu geben, so dass jeder mögliche Sinn durch ein Symbol, auf welches die Beschreibung passt, ausgedrückt werden kann, und dass jedes Symbol, worauf die Beschreibung passt, einen Sinn ausdrücken kann, wenn die Bedeutungen der Namen entsprechend gewählt werden. Es ist klar, dass bei der Beschreibung der allgemeinsten Satzform n u r ihr Wesentliches beschrieben werden darf,sonst wäre sie nämlich nicht die allgemeinste. Dass es eine allgemeine Satzform gibt, wird dadurch bewiesen, dass es keinen Satz geben darf, dessen Form man nicht hätte voraussehen (d. h. konstruieren) können. Die allgemeine Form des Satzes ist: Es verhält sich so und so. 4.51 Angenommen, mir wären a l l e Elementarsätze gegeben: Dann lässt sich einfach fragen: welche Sätze kann ich aus ihnen bilden. Und das sind a l l e Sätze und s o sind sie begrenzt. 4.52 Die Sätze sind Alles, was aus der Gesamtheit aller Elementarsätze folgt (natürlich auch daraus, dass es die G e s a m t h e i t a l l e r ist). (So könnte man in gewissem Sinne sagen, dass a l l e Sätze Verallgemeinerungen der Elementarsätze sind.) 4.53 Die allgemeine Satzform ist eine Variable. 5 Der Satz ist eine Wahrheitsfunktion der Elementarsätze. (Der Elementarsatz ist eine Wahrheitsfunktion seiner selbst.) 5.01 Die Elementarsätze sind die Wahrheitsargumente des Satzes. 5.02 Es liegt nahe, die Argumente von Funktionen mit den Indices von Namen zu verwechseln. Ich erkenne nämlich sowohl am Argument wie am Index die Bedeutung des sie enthaltenden Zeichens. 124 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG In Russell's +c ist z. B. c ein Index, der darauf hinweist, dass das ganze Zeichen das Additionszeichen für Kardinalzahlen ist. Aber diese Bezeichnung beruht auf willkürlicher Übereinkunft und man könnte statt +c auch ein einfaches Zeichen wählen; in ∼p aber ist p kein Index, sondern ein Argument: der Sinn von ∼p ka n n n i c h t verstanden werden, ohne dass vorher der Sinn von p verstanden worden wäre. (Im Namen Julius Cäsar ist Julius ein Index. Der Index ist immer ein Teil einer Beschreibung des Gegenstandes, dessen Namen wir ihn anhängen. Z. B. D e r Cäsar aus dem Geschlechte der Julier.) Die Verwechslung von Argument und Index liegt, wenn ich mich nicht irre, der Theorie Frege's von der Bedeutung der Sätze und Funktionen zugrunde. Für Frege waren die Sätze der Logik Namen, und deren Argumente die Indices dieser Namen. 5.1 Die Wahrheitsfunktionen lassen sich in Reihen ordnen. Das ist die Grundlage der Wahrscheinlichkeitslehre. 5.101 Die Wahrheitsfunktionen jeder Anzahl von Elementarsätzen lassen sich in einem Schema folgender Art hinschreiben: (W W W W)(p, q) Tautologie (Wenn p, so p; und wenn q, so q.) (p ⊃ p . q ⊃ q) ( F W W W)(p, q) in Worten: Nicht beides p und q. (∼(p . q)) (W F W W)(p, q) Wenn q, so p. (q ⊃ p) (W W F W)(p, q) Wenn p, so q. (p ⊃ q) (W W W F )(p, q) p oder q. (p ∨ q) ( F F W W)(p, q) Nicht q. (∼q) ( F W F W)(p, q) Nicht p. (∼p) ( F W W F )(p, q) p, oder q, aber nicht beide. (p . ∼q : ∨ : q . ∼p) (W F F W)(p, q) Wenn p, so q; und wenn q, so p. (p ≡ q) (W F W F )(p, q) p (W W F F )(p, q) q ( F F F W)(p, q) Weder p noch q. (∼p . ∼q) oder (p | q) ( F F W F )(p, q) p und nicht q. (p . ∼q) ( F W F F )(p, q) q und nicht p. (q . ∼p) (W F F F )(p, q) q und p. (q . p) ( F F F F )(p, q) Kontradiktion (p und nicht p; und q und nicht q.) (p . ∼p . q . ∼q) Diejenigen Wahrheitsmöglichkeiten seiner Wahrheitsargumente, welche den Satz bewahrheiten, will ich seine Wa h r - h e i t s g r ü n d e nennen. 5.11 Sind die Wahrheitsgründe, die einer Anzahl von Sätzen gemeinsam sind, sämtlich auch Wahrheitsgründe eines bestimmten Sat125 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG zes, so sagen wir, die Wahrheit dieses Satzes folge aus der Wahrheit jener Sätze. 5.12 Insbesondere folgt die Wahrheit eines Satzes p aus der Wahrheit eines anderen q, wenn alle Wahrheitsgründe des zweiten Wahrheitsgründe des ersten sind. 5.121 Die Wahrheitsgründe des einen sind in denen des anderen enthalten; p folgt aus q. 5.122 Folgt p aus q, so ist der Sinn von p im Sinne von q enthalten. 5.123 Wenn ein Gott eine Welt erschat, worin gewisse Sätze wahr sind, so schat er damit auch schon eine Welt, in welcher alle ihre Folgesätze stimmen. Und ähnlich könnte er keine Welt schaen, worin der Satz p wahr ist, ohne seine sämtlichen Gegenstände zu schaen. 5.124 Der Satz bejaht jeden Satz der aus ihm folgt. 5.1241 p . q ist einer der Sätze, welche p bejahen und zugleich einer der Sätze, welche q bejahen. Zwei Sätze sind einander entgegengesetzt, wenn es keinen sinnvollen Satz gibt, der sie beide bejaht. Jeder Satz der einem anderen widerspricht, verneint ihn. 5.13 Dass die Wahrheit eines Satzes aus der Wahrheit anderer Sätze folgt, ersehen wir aus der Struktur der Sätze. 5.131 Folgt die Wahrheit eines Satzes aus der Wahrheit anderer, so drückt sich dies durch Beziehungen aus, in welchen die Formen jener Sätze zu einander stehen; und zwar brauchen wir sie nicht erst in jene Beziehungen zu setzen, indem wir sie in einem Satze miteinander verbinden, sondern diese Beziehungen sind intern und bestehen, sobald, und dadurch dass, jene Sätze bestehen. 5.1311 Wenn wir von p∨q und ∼p auf q schliessen, so ist hier durch die Bezeichnungsweise die Beziehung der Satzformen von p∨q und ∼p verhüllt. Schreiben wir aber z. B. statt p∨q p | q .|. p | q und statt ∼p p|p (p|q = weder p, noch q), so wird der innere Zusammenhang oenbar. (Dass man aus (x).fx auf f a schliessen kann, das zeigt, dass die Allgemeinheit auch im Symbol (x) . fx vorhanden ist.) 126 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG 5.132 Folgt p aus q, so kann ich von q auf p schliessen; p aus q folgern. Die Art des Schlusses ist allein aus den beiden Sätzen zu entnehmen. Nur sie selbst können den Schluss rechtfertigen. Schlussgesetze, welchewie bei Frege und Russelldie Schlüsse rechtfertigen sollen, sind sinnlos, und wären über üssig. 5.133 Alles Folgern geschieht a priori. 5.134 Aus einem Elementarsatz lässt sich kein anderer folgern. 5.135 Auf keine Weise kann aus dem Bestehen irgend einer Sachlage auf das Bestehen einer, von ihr gänzlich verschiedenen Sachlage geschlossen werden. 5.136 Einen Kausalnexus, der einen solchen Schluss rechtfertigte, gibt es nicht. 5.1361 Die Ereignisse der Zukunft kö n n e n wir nicht aus den gegenwärtigen erschliessen. Der Glaube an den Kausalnexus ist der A b e r g l a u b e. 5.1362 Die Willensfreiheit besteht darin, dass zukünftige Handlungen jetzt nicht gewusst werden können. Nur dann könnten wir sie wissen, wenn die Kausalität eine i n n e r e Notwendigkeit wäre, wie die des logischen Schlusses.Der Zusammenhang von Wissen und Gewusstem, ist der der logischen Notwendigkeit. (A weiss, dass p der Fall ist ist sinnlos, wenn p eine Tautologie ist.) 5.1363 Wenn daraus, dass ein Satz uns einleuchtet, nicht f o l g t, dass er wahr ist, so ist das Einleuchten auch keine Rechtfertigung für unseren Glauben an seine Wahrheit. 5.14 Folgt ein Satz aus einem anderen, so sagt dieser mehr als jener, jener weniger als dieser. 5.141 Folgt p aus q und q aus p, so sind sie ein und derselbe Satz. 5.142 Die Tautologie folgt aus allen Sätzen: sie sagt Nichts. 5.143 Die Kontradiktion ist das Gemeinsame der Sätze, was k e i n Satz mit einem anderen gemein hat. Die Tautologie ist das Gemeinsame aller Sätze, welche nichts miteinander gemein haben. 127 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG Die Kontradiktion verschwindet sozusagen ausserhalb, die Tautologie innerhalb aller Sätze. Die Kontradiktion ist die äussere Grenze der Sätze, die Tautologie ihr substanzloser Mittelpunkt. 5.15 Ist Wr die Anzahl der Wahrheitsgründe des Satzes r, Wrs die Anzahl derjenigen Wahrheitsgründe des Satzes s, die zugleich Wahrheitsgründe von r sind, dann nennen wir das Verhältnis: Wrs : Wr das Mass der Wa h r s c h e i n l i c h k e i t, welche der Satz r dem Satz s gibt. 5.151 Sei in einem Schema wie dem obigen in No. 5.101 Wr die Anzahl der W im Satze r; Wrs die Anzahl derjenigen W im Satze s, die in gleichen Kolonnen mit W des Satzes r stehen. Der Satz r gibt dann dem Satze s die Wahrscheinlichkeit: Wrs : Wr. 5.1511 Es gibt keinen besonderen Gegenstand, der den Wahrscheinlichkeitssätzen eigen wäre. 5.152 Sätze, welche keine Wahrheitsargumente mit einander gemein haben, nennen wir von einander unabhängig. Von einander unabhängige Sätze (z. B. irgend zwei Elementarsätze) geben einander die Wahrscheinlichkeit 1 2 . Folgt p aus q, so gibt der Satz q dem Satz p die Wahrscheinlichkeit 1. Die Gewissheit des logischen Schlusses ist ein Grenzfall der Wahrscheinlichkeit. (Anwendung auf Tautologie und Kontradiktion.) 5.153 Ein Satz ist an sich weder wahrscheinlich noch unwahrscheinlich. Ein Ereignis trit ein, oder es trit nicht ein, ein Mittelding gibt es nicht. 5.154 In einer Urne seien gleichviel weisse und schwarze Kugeln (und keine anderen). Ich ziehe eine Kugel nach der anderen und lege sie wieder in die Urne zurück. Dann kann ich durch den Versuch feststellen, dass sich die Zahlen der gezogenen schwarzen und weissen Kugeln bei fortgesetztem Ziehen einander nähern. D a s ist also kein mathematisches Faktum. Wenn ich nun sage: Es ist gleich wahrscheinlich, dass ich eine weisse Kugel wie eine schwarze ziehen werde, so heisst das: Alle mir bekannten Umstände (die hypothetisch angenommenen Naturgesetze mitinbegrien) geben dem Eintreen des einen Er128 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG eignisses nicht m e h r Wahrscheinlichkeit als dem Eintreen des anderen. Das heisst, sie gebenwie aus den obigen Erklärungen leicht zu entnehmen istjedem die Wahrscheinlichkeit 1 2 . Was ich durch den Versuch bestätige ist, dass das Eintreen der beiden Ereignisse von den Umständen, die ich nicht näher kenne, unabhängig ist. 5.155 Die Einheit des Wahrscheinlichkeitssatzes ist: Die Umstände die ich sonst nicht weiter kennegeben dem Eintreen eines bestimmten Ereignisses den und den Grad der Wahrscheinlichkeit. 5.156 So ist die Wahrscheinlichkeit eine Verallgemeinerung. Sie involviert eine allgemeine Beschreibung einer Satzform. Nur in Ermanglung der Gewissheit gebrauchen wir die Wahrscheinlichkeit.Wenn wir zwar eine Tatsache nicht vollkommen kennen, wohl aber e t wa s über ihre Form wissen. (Ein Satz kann zwar ein unvollständiges Bild einer gewissen Sachlage sein, aber er ist immer e i n vollständiges Bild.) Der Wahrscheinlichkeitssatz ist gleichsam ein Auszug aus anderen Sätzen. 5.2 Die Strukturen der Sätze stehen in internen Beziehungen zu einander. 5.21 Wir können diese internen Beziehungen dadurch in unserer Ausdrucksweise hervorheben, dass wir einen Satz als Resultat einer Operation darstellen, die ihn aus anderen Sätzen (den Basen der Operation) hervorbringt. 5.22 Die Operation ist der Ausdruck einer Beziehung zwischen den Strukturen ihres Resultats und ihrer Basen. 5.23 Die Operation ist das, was mit dem einen Satz geschehen muss, um aus ihm den anderen zu machen. 5.231 Und das wird natürlich von ihren formalen Eigenschaften, von der internen Ähnlichkeit ihrer Formen abhängen. 5.232 Die interne Relation, die eine Reihe ordnet, ist äquivalent mit der Operation, durch welche ein Glied aus dem anderen entsteht. 5.233 Die Operation kann erst dort auftreten, wo ein Satz auf logisch bedeutungsvolle Weise aus einem anderen entsteht. Also dort, 129 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG wo die logische Konstruktion des Satzes anfängt. 5.234 Die Wahrheitsfunktionen der Elementarsätze sind Resultate von Operationen, die die Elementarsätze als Basen haben. (Ich nenne diese Operationen Wahrheitsoperationen.) 5.2341 Der Sinn einer Wahrheitsfunktion von p ist eine Funktion des Sinnes von p. Verneinung, logische Addition, logische Multiplikation, etc., etc. sind Operationen. (Die Verneinung verkehrt den Sinn des Satzes.) 5.24 Die Operation zeigt sich in einer Variablen; sie zeigt, wie man von einer Form von Sätzen zu einer anderen gelangen kann. Sie bringt den Unterschied der Formen zum Ausdruck. (Und das Gemeinsame zwischen den Basen und dem Resultat der Operation sind eben die Basen.) 5.241 Die Operation kennzeichnet keine Form, sondern nur den Unterschied der Formen. 5.242 Dieselbe Operation, die q aus p macht, macht aus q r u. s. f. Dies kann nur darin ausgedrückt sein, dass p, q, r, etc. Variable sind, die gewisse formale Relationen allgemein zum Ausdruck bringen. 5.25 Das Vorkommen der Operation charakterisiert den Sinn des Satzes nicht. Die Operation sagt ja nichts aus, nur ihr Resultat, und dies hängt von den Basen der Operation ab. (Operation und Funktion dürfen nicht miteinander verwechselt werden.) 5.251 Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, wohl aber kann das Resultat einer Operation ihre eigene Basis werden. 5.252 Nur so ist das Fortschreiten von Glied zu Glied in einer Formenreihe (von Type zu Type in den Hierarchien Russells und Whiteheads) möglich. (Russell und Whitehead haben die Möglichkeit dieses Fortschreitens nicht zugegeben, aber immer wieder von ihr Gebrauch gemacht.) 5.2521 Die fortgesetzte Anwendung einer Operation auf ihr eigenes Resultat nenne ich ihre successive Anwendung (O′O′O′a ist das 130 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG Resultat der dreimaligen successiven Anwendung von O′ ξ auf a). In einem ähnlichen Sinne rede ich von der successiven Anwendung m e h r e r e r Operationen auf eine Anzahl von Sätzen. 5.2522 Das allgemeine Glied einer Formenreihe a, O′a, O′O′a, . . . . schreibe ich daher so: [a, x, O′x]. Dieser Klammerausdruck ist eine Variable. Das erste Glied des Klammerausdruckes ist der Anfang der Formenreihe, das zweite die Form eines beliebigen Gliedes x der Reihe und das dritte die Form desjenigen Gliedes der Reihe, welches auf x unmittelbar folgt. 5.2523 Der Begri der successiven Anwendung der Operation ist äquivalent mit dem Begri und so weiter. 5.253 Eine Operation kann die Wirkung einer anderen rückgängig machen. Operationen können einander aufheben. 5.254 Die Operation kann verschwinden (z. B. die Verneinung in ∼∼p, ∼∼p = p). 5.3 Alle Sätze sind Resultate von Wahrheitsoperationen mit den Elementarsätzen. Die Wahrheitsoperation ist die Art und Weise, wie aus den Elementarsätzen die Wahrheitsfunktion entsteht. Nach dem Wesen der Wahrheitsoperation wird auf die gleiche Weise, wie aus den Elementarsätzen ihre Wahrheitsfunktion, aus Wahrheitsfunktionen eine Neue. Jede Wahrheitsoperation erzeugt aus Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen wieder eine Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen, einen Satz. Das Resultat jeder Wahrheitsoperation mit den Resultaten von Wahrheitsoperationen mit Elementarsätzen ist wieder das Resultat E i n e r Wahrheitsoperation mit Elementarsätzen. Jeder Satz ist das Resultat von Wahrheitsoperationen mit Elementarsätzen. 5.31 Die Schemata No. 4.31 haben auch dann eine Bedeutung, wenn p, q, r, etc. nicht Elementarsätze sind. Und es ist leicht zu sehen, dass das Satzzeichen in No. 4.442, auch wenn p und q Wahrheitsfunktionen von Elementarsätzen sind, Eine Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen ausdrückt. 131 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG 5.32 Alle Wahrheitsfunktionen sind Resultate der successiven Anwendung einer endlichen Anzahl von Wahrheitsoperationen auf die Elementarsätze. 5.4 Hier zeigt es sich, dass es logische Gegenstände, logische Konstante (im Sinne Freges und Russells) nicht gibt. 5.41 Denn: Alle Resultate von Wahrheitsoperationen mit Wahrheitsfunktionen sind identisch, welche eine und dieselbe Wahrheitsfunktion von Elementarsätzen sind. 5.42 Dass ∨, ⊃, etc. nicht Beziehungen im Sinne von rechts und links etc. sind, leuchtet ein. Die Möglichkeit des kreuzweisen De nierens der logischen Urzeichen Freges und Russells zeigt schon, dass dies keine Urzeichen sind, und schon erst recht, dass sie keine Relationen bezeichnen. Und es ist oenbar, dass das ⊃, welches wir durch ∼ und ∨ de nieren, identisch ist mit dem, durch welches wir ∨ mit ∼ de nieren und dass dieses ∨ mit dem ersten identisch ist. U. s. w. 5.43 Dass aus einer Tatsache p unendlich viele a n d e r e folgen sollten, nämlich ∼∼p, ∼∼∼∼p, etc., ist doch von vornherein kaum zu glauben. Und nicht weniger merkwürdig ist, dass die unendliche Anzahl der Sätze der Logik (der Mathematik) aus einem halben Dutzend Grundgesetzen folgen. Alle Sätze der Logik sagen aber dasselbe. Nämlich Nichts. 5.44 Die Wahrheitsfunktionen sind keine materiellen Funktionen. Wenn man z. B. eine Bejahung durch doppelte Verneinung erzeugen kann, ist dann die Verneinungin irgend einem Sinn in der Bejahung enthalten? Verneint ∼∼p ∼p, oder bejaht es p; oder beides? Der Satz ∼∼p handelt nicht von der Verneinung wie von einem Gegenstand; wohl aber ist die Möglichkeit der Verneinung in der Bejahung bereits präjudiziert. Und gäbe es einen Gegenstand, der ∼ hiesse, so müsste ∼∼p etwas anderes sagen als p. Denn der eine Satz würde dann eben von ∼ handeln, der andere nicht. 5.441 Dieses Verschwinden der scheinbaren logischen Konstanten tritt 132 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG auch ein, wenn ∼(∃x).∼fx dasselbe sagt wie (x). fx, oder (∃x) . fx . x = a dasselbe wie f a. 5.442 Wenn uns ein Satz gegeben ist, so sind m i t i h m auch schon die Resultate aller Wahrheitsoperationen, die ihn zur Basis haben, gegeben. 5.45 Gibt es logische Urzeichen, so muss eine richtige Logik ihre Stellung zueinander klar machen und ihr Dasein rechtfertigen. Der Bau der Logik a u s ihren Urzeichen muss klar werden. 5.451 Hat die Logik Grundbegrie, so müssen sie von einander unabhängig sein. Ist ein Grundbegri eingeführt, so muss er in allen Verbindungen eingeführt sein, worin er überhaupt vorkommt. Man kann ihn also nicht zuerst für e i n e Verbindung, dann noch einmal für eine andere einführen. Z. B.: Ist die Verneinung eingeführt, so müssen wir sie jetzt in Sätzen von der Form ∼p ebenso verstehen, wie in Sätzen wie ∼(p ∨ q), (∃x) . ∼fx u. a. Wir dürfen sie nicht erst für die eine Klasse von Fällen, dann für die andere einführen, denn es bliebe dann zweifelhaft, ob ihre Bedeutung in beiden Fällen die gleiche wäre und es wäre kein Grund vorhanden, in beiden Fällen dieselbe Art der Zeichenverbindung zu benützen. (Kurz, für die Einführung der Urzeichen gilt, mutatis mutandis, dasselbe, was Frege (Grundgesetze der Arithmetik) für die Einführung von Zeichen durch De nitionen gesagt hat.) 5.452 Die Einführung eines neuen Behelfes in den Symbolismus der Logik muss immer ein folgenschweres Ereignis sein. Kein neuer Behelf darf in die Logiksozusagen, mit ganz unschuldiger Mienein Klammern oder unter dem Striche eingeführt werden. (So kommen in den Principia Mathematica von Russell und Whitehead De nitionen und Grundgesetze in Worten vor. Warum hier plötzlich Worte? Dies bedürfte einer Rechtfertigung. Sie fehlt und muss fehlen, da das Vorgehen tatsächlich unerlaubt ist.) Hat sich aber die Einführung eines neuen Behelfes an einer Stelle als nötig erwiesen, so muss man sich nun sofort fragen: Wo muss dieser Behelf nun i m m e r angewandt werden? Seine Stellung in der Logik muss nun erklärt werden. 133 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG 5.453 Alle Zahlen der Logik müssen sich rechtfertigen lassen. Oder vielmehr: Es muss sich herausstellen, dass es in der Logik keine Zahlen gibt. Es gibt keine ausgezeichneten Zahlen. 5.454 In der Logik gibt es kein Nebeneinander, kann es keine Klassi- kation geben. In der Logik kann es nicht Allgemeineres und Spezielleres geben. 5.4541 Die Lösungen der logischen Probleme müssen einfach sein, denn sie setzen den Standard der Einfachheit. Die Menschen haben immer geahnt, dass es ein Gebiet von Fragen geben müsse, deren Antwortena priorisymmetrisch, und zu einem abgeschlossenen, regelmässigen Gebilde vereintliegen. Ein Gebiet, in dem der Satz gilt: simplex sigillum veri. 5.46 Wenn man die logischen Zeichen richtig einführte, so hätte man damit auch schon den Sinn aller ihrer Kombinationen eingeführt; also nicht nur p ∨ q sondern auch schon ∼(p ∨ ∼q) etc. etc. Man hätte damit auch schon die Wirkung aller nur möglichen Kombinationen von Klammern eingeführt. Und damit wäre es klar geworden, dass die eigentlichen allgemeinen Urzeichen nicht die p ∨ q, (∃x) . fx, etc. sind, sondern die allgemeinste Form ihrer Kombinationen. 5.461 Bedeutungsvoll ist die scheinbar unwichtige Tatsache, dass die logischen Scheinbeziehungen, wie ∨ und ⊃, der Klammern bedürfenim Gegensatz zu den wirklichen Beziehungen. Die Benützung der Klammern mit jenen scheinbaren Urzeichen deutet ja schon darauf hin, dass diese nicht die wirklichen Urzeichen sind. Und es wird doch wohl niemand glauben, dass die Klammern eine selbständige Bedeutung haben. 5.4611 Die logischen Operationszeichen sind Interpunktionen. 5.47 Es ist klar, dass alles was sich überhaupt vo n vo r n h e r e i n über die Form aller Sätze sagen lässt, sich a uf e i n m a l sagen lassen muss. Sind ja schon im Elementarsatze alle logischen Operationen enthalten. Denn f a sagt dasselbe wie (∃x) . fx . x = a. 134 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG Wo Zusammengesetztheit ist, da ist Argument und Funktion, und wo diese sind, sind bereits alle logischen Konstanten. Man könnte sagen: Die Eine logische Konstante ist das, was a l l e Sätze, ihrer Natur nach, mit einander gemein haben. Das aber ist die allgemeine Satzform. 5.471 Die allgemeine Satzform ist das Wesen des Satzes. 5.4711 Das Wesen des Satzes angeben, heisst, das Wesen aller Beschreibung angeben, also das Wesen der Welt. 5.472 Die Beschreibung der allgemeinsten Satzform ist die Beschreibung des einen und einzigen allgemeinen Urzeichens der Logik. 5.473 Die Logik muss für sich selber sorgen. Ein m ö g l i c h e s Zeichen muss auch bezeichnen können. Alles was in der Logik möglich ist, ist auch erlaubt. (Sokrates ist identisch heisst darum nichts, weil es keine Eigenschaft gibt, die identisch heisst. Der Satz ist unsinnig, weil wir eine willkürliche Bestimmung nicht getroen haben, aber nicht darum, weil das Symbol an und für sich unerlaubt wäre.) Wir können uns, in gewissem Sinne, nicht in der Logik irren. 5.4731 Das Einleuchten, von dem Russell so viel sprach, kann nur dadurch in der Logik entbehrlich werden, dass die Sprache selbst jeden logischen Fehler verhindert.Dass die Logik a priori ist, besteht darin, dass nicht unlogisch gedacht werden ka n n. 5.4732 Wir können einem Zeichen nicht den unrechten Sinn geben. 5.47321 Occams Devise ist natürlich keine willkürliche, oder durch ihren praktischen Erfolg gerechtfertigte, Regel: Sie besagt, dass u n n ö t i g e Zeicheneinheiten nichts bedeuten. Zeichen, die E i n e n Zweck erfüllen, sind logisch äquivalent, Zeichen, die k e i n e n Zweck erfüllen, logisch bedeutungslos. 5.4733 Frege sagt: Jeder rechtmässig gebildete Satz muss einen Sinn haben; und ich sage: Jeder mögliche Satz ist rechtmässig gebildet, und wenn er keinen Sinn hat, so kann das nur daran liegen, dass wir einigen seiner Bestandteile keine B e d e u t u n g gegeben haben. (Wenn wir auch glauben, es getan zu haben.) 135 LOGISCH-PHILOSOPHISCHE ABHANDLUNG So sagt Sokrates ist identisch darum nichts, weil wir dem Wort identisch als E i g e n s c h af t s wo r t k e i n e Bedeutung gegeben haben. Denn, wenn es als Gleichheitszeichen auftritt, so symbolisiert es auf ganz andere Art und Weisedie bezeichnende Beziehung ist eine andere,also ist auch das Symbol in beiden Fällen ganz verschieden; die beiden Symbole haben nur das Zeichen zufällig miteinander gemein. 5.474 Die Anzahl der nötigen Grundoperationen hängt n u r von unserer Notation ab. 5.475 Es kommt nur darauf an, ein Zeichensystem von einer bestimmten Anzahl von Dimensionenvon einer bestimmten mathematischen Mannigfaltigkeitzu bilden. 5.476 Es ist klar, dass es sich hier nicht um eine A n z a h l vo n G r u n d b e g r iff e n handelt, die bezeichnet werden müssen, sondern um den Ausdruck einer Regel. 5.5 Jede Wahrheitsfunktion ist ein Resultat der successiven Anwendung der Operation ( W)(ξ, . . . .) auf Elementarsätze. Diese Operation verneint sämtliche Sätze in der rechten Klammer und ich nenne sie die Negation dieser Sätze. 5.501 Einen Klammerausdruck, dessen Glieder Sätze sind, deute ich wenn die Reihenfolge der Glieder in der Klammer gleichgültig istdurch ein Zeichen von der Form (ξ) an. ξ ist eine Variable, deren Werte die Glieder des Klammerausdruckes sind; und der Strich über der Variablen deutet an, dass sie ihre sämtlichen Werte in der Klammer vertritt. (Hat also ξ etwa die 3 Werte P, Q, R, so ist (ξ) = (P, Q, R).) Die Werte der Variablen werden festgesetzt. Die Festsetzung ist die Beschreibung der Sätze, welche die Variable vertritt. Wie die Beschreibung der Glieder des Klammerausdruckes geschieht, ist unwesentlich. Wir kö n n e n drei Arten der Beschreibung unterscheiden: